Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Ми оставляет неизменной первую систему уравнений Максвелла (см. § 28):
BFib SF,, OFb,
—у -I-----г + —j- = 0, (203)
дх дх дх'
из которой вытекает существование 4 потенциала Зфь Зф,
Далее, во всяком случае, должно выполняться уравнение непрерывности для 4-тока
я Ж
; = 0- (197)
Oxh ' '
Отсюда следует, что существует бивектор Hik =
*) Мы не можем в этом пункте присоединиться к изложению в книге М. Борпа «Теория относительности Эйнштейна».
**) Cm. еще работу М. Борпа [346], где разбирается аналогия вывода закона сохранения энергии-импульса из принципа действия в теории Mn с выводом закопа сохранения энергии из гамильтонова принципа в обычно:! механике (см. также [347]).
I 64. ТЕОРИЯ МИ
251
удовлетворяющий уравнению s’ = OHihIdxh.
(467)
При этом Hth связывает воедино векторы D и H так же, как Fih связывает векторы E и В. Очевидно, что если Нгк — F'k, то эти уравнения переходят в уравнения обыкновенной электродинамики, и что они по форме совпадают с уравнениями феноменологической электродинамики в материальных телах.
IIo эти уравнения поля приобретают новое физическое содержание благодаря следующему решающему положению: величины Hh и Sh должны быть универсальными функциями Fik и ф*:
Первые шесть соотношений существенно отличаются от соответствующих формул феноменологической электродинамики тем, что в них явно входят ф(. В теории Mn имеют реальпый смысл не только разности потенциалов, но и их абсолютные значения. Уравнения теории не остаются неизменпыми, если заменить <р на <j + const. Ниже мы увидим, что ио этой причипе в теории Ми появляется серьезное затруднение. Четыре последних уравнения (467а) важны для установления факта существования и законов движения материальных частиц (электрона и протона). Ми называет, более или менее произвольно, ф( и Fih- интенсив постными величинами, a Sk и IIlh — величинами количественными.
Уравнения (467а) вводят в теорию не менее десяти универсальных функций. Однако, как нашел Ми, принцип энергии обусловливает и здесь большое упрощение, так как позволяет свести десять неизвестных универсальных функций к одной единственной функции. Именно, оказывается, что из (206) и (467) только тогда вытекает уравнение вида
(W —плотность энергии, S — поток энергии), когда существует инвариант (сперва относительно группы Лоренца) L(F, ф), из которого IIth и Si получаются путем дифференцирования:
Hih = uih{F, <г); sh = vh(F, ф).
(467а)
LlL
2 Sfpi ’
(468)
252 гл. V. ТЕОРИИ ЗАРЯЖЕННЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ
так что
6L = HihSFih - 2в*6ф,.
(468а)
Простой расчет показывает тогда, что уравнения вытекают из вариационного принципа
при условии, что соотношения (206) справедливы и для варьированного поля.
О виде инварианта L, который часто называют мировой функцией, можно сделать некоторые общие высказывания. Независимые инварианты, которые можно образовать из бивектора Filt и вектора таковы:
1) квадрат бивектора Fik- -у FikFxh-,
2) квадрат вектора <р<: <р<ср*;
3) квадрат вектора Fatf: FiTy,Fii^r',
4) квадрат вектора^і^ф* или, что го же, квадрат тривектора Flhf.р, + FhliPi + Fii(I)k.
Поэтому L должно зависеть только от этих четырех инвариантов (см. примеч. 20). Если L равно первому из указанных инвариантов, то уравнения поля Ми вырождаются в обыкновенные уравнения электронной теории для пространства без зарядов. Таким образом, L может заметно отличаться от '/г FihFih только внутри материальных частиц. Дальнейших высказываний о мировой функции L сделать уже нельзя. Нельзя сузить число возможностей настолько, чтобы однозначно прийти к определенному выбору мировой функции. Напротив, для выбора L остается бесконечное число возможностей.
Мы должны теперь найти тензор энергии-импульса Tih как функцию переменных поля. Соответствующие вычисления чрезвычайно упрощаются, если согласно Гильберту [108] и Вейлю [347] записать уравнения поля Mn в форме, удовлетворяющей общей теории относительности, а затем применить метод вариации величин gik (см. § 55). Только в этом случае формальные соотношения становятся понятными. Выше мы уже учли это обстоятельство, используя форму записи, отличную от применявшейся Ми, который в своих работах 1912 и 1913 г., конечно, стоял на почве специальной теории относительности. Прежде всего, так же как в обыкновенной электродинамике (см. § 54), система уравнений (203), (208)
(469)
§ 64. ТЕОРИЯ МИ
253
сохраняется в любом G-поле. Напротив, уравнения (197) и (467) заменяются такими:
O^iIdxi = 0, (197а)
Si = д&к/0х\ (467Ь)
Заметим вместе с Вейлем, что теперь «количественные» величины имеют характер тензорных плотностей, т. е. умножены на У—g, в то время как «интенсивностные» величины остаются обыкновенными тензорами. Соотношения (468), (468а) и принцип Гамильтона (469) также сохраняются; последний может, конечно, быть записан в виде
б J 6 dx = 0. (469а)
Для нахождения тензора Tih мы должны только определить вариацию функции действия при варьировании G-поля. Поскольку здесь L не зависит от производных gik, мы должны, при условии постоянства электромагнитного поля, просто иметь
