Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
ф =A-
,-Yxr
Г
ДФ = 4л?р0 должно быть заменено уравнением ДФ — ЯФ = 4я&|Ио.
CA)
(В)
§ 62, ИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
241
Jifl и существование постоянного в пространстве потенциала, который оказывается равен
* Auk
ф — IV
В релятивистской теории положение вполне аналогично имеющему место в теории Ньютона. Если придерживаться уравнений (401), то оказывается невозможным выбрать граничные условия так, чтобы одновременно избежать «опустения» звездной системы (т. е. выхода из нее звезд) и не вступить в противоречие с тем фактом, что скорости звезд незначительны. Представляется, однако, возможным изменить уравнения поля способом, вполне аналогичным переходу от (А) к (В). Действительно, при установлении уравнений поля в § 56 мы просто опустили в (400) пропорциональный gih член Czga,, чего не требовали ни постулат общековариантности, ни закон сохранения энергии-импульса материи. Теперь мы можем снова ввести этот член в (401):
Gik ^gtk = —хТц, (452)
где вместо сз, следуя Эйнштейну, пишем —X. После свертывания отсюда получается, что
Л + 4Х = +иГ (453)
Rik + ^gik = -х (Tih - lIzgihT). (452а)
Если основываться на этих модифицированных уравнениях, то легко показать, что заполненный материей постоянной плотности мир находится в равновесии. Кроме того, оказывается, что этот мир является сферическим или эллиптическим, т. е. пространственно-замкнутым. Если сделать, например, частное предположение:
ft XiXtt
gik = б, + а2_[(ж1)2 + (;с2)2 + (гз)2]; (454)
gii — о, g41 = —1 (г, к = 1, 2, 3), то, согласно § 18, (117), (118), (119) и (130):
2 „6^1
242
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Далео, = Цое2; остальные T1ift = O1 T = — Цое2, и уравнения (452), таким образом, удовлетворены, если
«11 о //Г.С\
Я = — = T 5^lOc =—Г5' (4о5)
а & с
Из уравнений поля (401), напротив, в силу К = 0, следовало бы также 1 /а2 — цо = 0.
Поскольку в этом примере, а также, вероятно, и для других, более общих распределений массы мир пространственно замкнут, необходимость в граничных условиях в бесконечности отпадает. Таким образом уравнения поля (452) не только разрешают противоречия между малыми скоростями звезд и статистической механикой, по и устраняют упомянутый теоретико-познавательный недостаток, который был присущ теории в предыдущей форме. Решение (454) уравнений поля передает средние свойства метрики мира. Лишь вблизи отдельных масс заметно отличаются от значений (454). Для системы масс, размеры которой малы по сравнению с исключительно большим радиусом кривизны мира, например для Солнечной системы, Х-членом можно пренебречь, и решения уравнений поля (401) сохраняют свою силу. Принцип Маха также, по-видимому, выполняется при применении уравнений поля (452), хотя общее доказательство этого утверждения еще не найдено. Именно, хотя уравнения (401) при исчезновении материи имеют общее решение gu, = consl *}, для уравнений (452) это не так; в этом случае gfk должны равняться нулю. В совершенно пустом пространстве вообще не может быть никакого G-поля; при этом не было бы возможно ни распространение света, ни существование масштабов и часов. С этим связано также выполнение постулата относительности инерции. Следует, одпако, заметить, что де Сигтер [335] нашел для совершенно пустого пространства решение уравнений (452), отличное от решения ?« = 0; именно, он нашел решение в виде четырехмерного, псевдосферы-
*) Утверждение, что это решение уравнений (401) для совершенно пустого пространства является единственным, для общею случая до сих пор еще ве доказано. В статическом случае доказательство бьтлл; едттвко, найдено [334] (см. примеч. 18).
§ 62. ИЗМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ
243
ческого мира:
a2-і M2
(і, к = 1,2, 3, 4; Xі — id);
^tt = Po = O; Я = З/а2.
і
(456)
(457)
Это решение отлично от «цилиндрического мира» Эйнштейна, определяемого формулами (454). Эйнштейн [336], однако, высказал утверждение, что решение де Ситтера не везде регулярно, так что, собственно, представляет собой не G-поле пустого мира, а поле мира с поверхностным распределением материи. К такому же результату приходит Вейль [337]*). Однако войрос еще не решен окончательно.
Астрономические следствия уравнений поля (452) обсуждались де Ситтером [338] и Лензе [339].
Энергия замкнутого мира. Уравнения (452), так же как уравнения (401), могут быть получены из вариационного принципа. Для этого нужно только к функции действия (404) добавить член 2AV—g. В результате получаем
Закон сохранения энергии снова справедлив в форме
Эти соображения содержатся в цитированной (см. с. 349) работе Эйнштейна и подробнее развиты Клейном.
Далее, необходимо выяснить, справедлив ли для полной энергии замкнутого мира указанный в § 61 закон независимости интегральных значений энергии от координатной системы. Доказательство этого закона здесь должно быть проведено заново, так как в прежнем доказа-
(458)
(459)
S = « + 2A,V-g + xSt.
(460)
где вместо й ставят величины
(461)
*) Cm. также F. KJein [327], в особенности § 9. Здесь подробно разобраны геометрические соотношения.
