Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 54. Влияние поля тяготения
на материальные процессы *)
Представляется удобным вместе с Эйнштейном называть материей все, кроме G-поля. Тогда задача заключается в том, чтобы придать законам материальных про-
*) Cm. также A. Einstein и М. Grossmann [256], ч. I, § 6; A. Einstein [258], Absclin С,; [262], Abschn. Д
14 в. Паули
(396)
?10 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
дессов общековариантную форму. В принципе она разрешается следующим рассуждением. Пусть сначала задана система Ко, в которой величины gih в конечной области мира имеют свои нормальные значения. Тогда законы природы имеют здесь ту форму, которая считается правильной в специальной теории относительности. Введем теперь любую другую произвольно движущуюся гауссову систему К и определим с помощью прямого расчета форму законов в К. На основании принципа эквивалентности ясно, что таким способом одновременно находится влияние гравитационных полей на материальные процессы. Далее, этот результат переносится на случай, когда нельзя найти никакой системы Ко, в которой гравитационное поле может быть удалено с помощью преобразования для конечных областей мира. Подобное перенесение возможно, конечно, лишь на основе в известной мере произвольной гипотезы, что вторые производные от gih не входят в рассматриваемые законы природы.
В математическом отношении положение аналогично имеющему место при переходе от тензорного исчисления евклидовой геометрии к тензорному исчислению геометрии Римапа (см. § 13, 20). Используя методы гл. II, можно любому закону специальной теории относительности сразу же придать общековариантную форму; для этого нужно заменить входящие в них тензорные операции соответствующими обобщенными операциями рима-новой геометрии. При этом нужно, конечно, учитывать разницу между ко- и контравариантными компонентами тензора, а также между тензорами и тензорными плотностями.
Изложенные общие положения будут сейчас разъяснены на примере уравнений Максвелла для поля в пустоте. Определим опять тензор поля Fih соотношениями
(202). Тогда, согласно (140Ь) (см. § 19), ураЬнение
(203) сохраняется:
^ik I dFH і п
дх1 dxh Oxi
Вторая система (208) уравнений Максвелла должна, однако, согласно (141Ь) записываться несколько иначе. Введем контравариаптные компоненты тензорной плотности, соответствующей Fih:
Sift = У—ggaig*hFah
(397).
g 54. ТЯГОТЕНИЕ И МАТЕГИАЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
211
а также тензорную плотность, соответствующую вектору тока
откуда вытекает также обобщение уравнения непрерыв-
Пондеромоторпая сила вычисляется совершенно так же, как раньше (см. (216)):
Смешанные компоненты плотпости тйнзора энергии импульса, согласно (222), равны
Важно обобщение соотношения (225). На основании правила (150а) общего тензорного анализа находим:
Второй член левой части характерен для влияния гравитационного поля. Тот факт, что (225а) и в общем случае является следствием соотношений (203), (208а) и (216), вытекает из вычислений, проведенных в § 23, а.
Аналогичным образом могут быть записаны в обще-ковариантной форме уравнения движения жидкости. Общие уравнения Герглотца для упругих тел были рассмотрены Нордстрёмом [295]. Так же как (225а) полу-
*) Лауэ [276] указывает применение этого уравнения. Именно, он показал, что из этих уравнений для мировых линий световых лучей в пустоте в рамках применимости геометрической оптики действительно вытекают уравнения (80) в (81) для нулевой геодезической линии.
Sf = У-gs'.
(398)
В этом случае имеем с%ІЬІдхк =
(208а);
ности (197)*) OiiIdxi = 0.
(197а)
а соответствующая тензорная плотность равна
U=y-gfi-Fih$\
(216а)
@* = FiSkr - V4^r8S і.
(222а)
или также
(225а)
14*
212
ГЛ. IV. ОБЩАЯ теория относительности
чайтся из выражения (225) для пондеромоторной силы, из общего закона сохранения энергии и импульса (341) вытекает закон сохранения энергии и импульса для материи при наличии гравитационных полей:
-4" ^T = °- (341а)
дх 2 Qxi
В физическом отношении уравнение (341а) очень существенно отличается от ранее рассмотренной формы закона сохранения энергии и импульса. В то время как из прежней формы с помощью интегрирования может быть получен закон сохранения полного импульса и полной энергии, в случае новой формы (341а) это уже невозможно, вследствие присутствия второго члена в левой
части. Дело здесь в том, что энергия и импульс гравитационного поля могут переходить в энергию и импульс материи, и наоборот (иодробнее см. § 61). Если внешние силы отсутствуют, то, в частности, для Tik можно ввести кинетический тензор энергии-импульса 0« по (322),
^ г і 11 dx^
а следовательно, для выражение ц0 у — g .
Уравнения (341а) сводятся тогда к уравнению геодезической линии (см. примеч. 15).
§ 55. Вариационные принципы
для материальных процессов
прн наличии гравитационных полей
Кик впервые показал Гильберт [296], тензор энер-пш-ішттульса Tih очень просто связан с функцией действия, что отчетливо проявляется лишь в общей теории относительности. Мы покажем это на примере вариационного принципа механики — электродинамики (см. § 31), который запишем в форме Вейля (231а):
