Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
Мы пришли, таким образом, к требованию, чтобы между десятью уравнениями (400) имелось четыре тож-
*) В историческом отношении интересно, что еще Э. Мах пришел на основе релятивистских рассуждений к результату, согласно которому число уравнений, выражающих физические законы, должно быть меньше числа неизвестных [297].
Заметим далее, что Эйнштейн некоторое время придерживался ошибочного взгляда, согласно которому указанная неоднозначность решений позволяет заключить, что уравнения тяготения не могут быть общековариантны (см. [258]).
§ 57. ВЫВОД ГРАВИТАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ 217
Как уже было указано в § 50 (см. сноску на с. 196), эти же уравнения в том же году были выведены Гильбертом. В то время как у Гильберта исходным является вариационный принцип, в нашем изложении, как и у Эйнштейна, этот последний получается как математическое следствие (см. следующий параграф).
§ 57. Вывод гравитационных уравнений из вариационного принципа*)
То обстоятельство, что тензор Gih удовлетворяет уравнению (182), связано, согласно § 23, с тем, что он получается путем варьирования G-поля из интегрального инварианта
если вариации компонент поля исчезают на границах. Далее, в § 55 мы видели, что тот интегральный инвари-
ант J SJi dx, который при варьировании материальных переменных приводит к дифференциальным уравнениям механического (упругого) и электромагнитного полей, при варьировании G-поля дает тензор энергии-импульса материи
Оба эти соотношения приводят к тому, что все физические законы могут быть объединены в один вариационный принцип
На границах области интегрирования вариации компонент поля должны при этом исчезать. Особенностью этой функции действия является возможность разделить ее на дно части, из которых одна независима от материальных переменных, а другая — от производных g,h (о более общих функциях действия, не обладающих этим свойством, CM. гл, V).
Вариационный принцип (403) приводит одновременно, на основании § 55 и 56. к наглядному объединению
(180)
(399а)
(403)
(404)
23 = Я + кШ.
*) Cm. [109-113].
218 ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
соотношений между уравнениями поля материальных процессов и тяготения: из обеих систем уравнений следует закон сохранения энергии-импульса (341а) (см. § 54). Согласно (184) из § 23 закон сохранения энергии-импульса может быть представлен еще и в другой форме. Полагая
ti = — (1/и) (405)
где U\ определены соотношениями (183) и (185), вследствие (184) и (401) находим
д{г\ + і\)/дхк^ 0. (406)
Согласно выводу, эти уравнения общековариантпы, хотя величины ti лишь при линейных преобразованиях преобразуются как компоненты тензора. В отличие от формы (341а) закона сохранения энергии-нмпульса, из (406) можно получить законы сохранения энергии и импульса также и в интегральной форме. Поэтому Эйнштейн назвал величины t\ компонентами энергии-им-пулъса гравитационного поля, сопоставляя их, как в известной степени равноправные, с компонентами тензора энергии-импульса материи. О дальнейших физических следствиях этой точки зрения CM. § 61.
Вариационный принцип (403) имеет, наконец, прак~ тическое значение при интегрировании уравнений поля в некоторых частных случаях. Позволяя обойтись без обращения к общим дифференциальным уравнениям, этот принцип значительно сокращает вычисления (подробнее см. § 58, ?).
§ 58. Сравнение с опытом *)
а. Теория Ньютона как первое приближение (см. [261, 262]). В § 53, а мы видели, что в слабых квазистатических граьитационных полях уравнения движения переходят в ньютоновы. Чтобы дополнить доказательство того, что теория Ньютона содержится в релятивистской теории как предельный случай, нужно еще показать, что в указанном частном случае скалярный
*) Относительно современного состояния вопроса об экспериментальной проверке общей теории относительности см, [399*— 401*, 11,3*, 11.11*, т. Ъ],— Примеч. ред.
t 58. СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ
219
потенциал (391) удовлетворяет уравнению Пуассона
ДФ = Ыкщ. (407а)
Для этой цели найдем компоненту 44 уравнения (401а). Для Tik мы можем ввести кинетический тензор энергии-импульса HouiUh. Пренебрегая величинами порядка «/с, можно положить все компоненты Tik, кроме Ta, равными нулю. Компонента Tii равна
Ti 4 = [Л0Сг
и, следовательно,
т = BihTik = g»T, 4 = — HoC2.
Поэтому уравнение (401а) дает
Rii = -lUlXliQC2. (408а)
Значение Rii можно взять из (94). Поскольку производными по времени и произведениями П., мы пренебрегаем, получаем просто
р ___ 44
^44’
и так как
д?л
г® р 1/ 44
І44~-1<Х,44~- /2^Г.
ТО
л.. = + 4-2^г = тдг«“-“' <4т>
OS Ct
последнее равенство получено согласно (391). Подставляя это в (408а), находим окончательно
ДФ = lIiXctVLo. (407Ь)
Таким образом, уравнение Пуассона действительно оказывается справедливым. То обстоятельство, что общая теория относительности на основании очень общих постулатов § 56 без дальнейших гипотез приводит к закону тяготения Ньютона, является ее большим успехом. Кроме того, благодаря этому мы теперь в состоянии кое-что сказать о знаке и числовом значении постоянной и. Действительно, сравнивая (407а) с (407Ь), находим, что
