Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
W
х = J {-L FlkFlh - 2Фі*‘ + 2цоС2} с12 =
= J 4- FihFik dZ-^de J 2Фidx' +
+ 2р0с \ V — SikUiUh dl, (231Ь)
&W 1 — 0.
Этот вариационный принцип остается справедливым п в
§ 55. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
213
поле тяготения [109, HO, 294], если не варьировать величин gik. (Варьируются опять независимо друг от друга мировые линии материальных точек и потенциал
ПОЛЯ фі.)
Нечто повое будет, если варьировать gih. МЕіровьіе линии вещества и потенциалы фі мы теперь оставляем неизменными. В этом случае, согласно § 23, а, первый интеграл вносит слагаемое
-$&hSgikdx=-$ SihSgih dZ,
второй интеграл не вносит ничего (т. е. равен нулю) и третий
- J fi0u'u’<6gikdS = - j QillSgikJS.
Поэтому в итоге
SW = - j Sift Sgil. dx ^ + J rZihSgih dx. (399)
Таким образом, тензор энергии-импульса материи получается варьированием G-поля в интеграле действия [296]. Это правило справедливо всегда, а не только в рассмотренном случае. Для тензора упругой энергии это было показано Нордстрёмом [295] (о теории Ми см. гл. V, § 64).
Связь между тензором энергии импульса материи и функцией действия, которая здесь обнаруживается, оказывается исключительно важной для применения в общей теории относительности принципа Гамильтона (см. § 57). Далее, если для Sgih принять просто вариацию S*g,k, получающуюся варьированием коордипатной системы, для которой 6 Il7 тождественно равно нулю (§ 23), то на основе (169) можно сделать следующее общее утверждение: во всех тех случаях, когда законы поля для материальных процессов могут быть выведены из вариационного принципа, а тензор энергии получается из интеграла действия путем варьирования G-поля описанным образом, закон сохранения энергии-импульса (341а) является следствием этих законов поля. Для этого заключения существенно, что члены, получающиеся благодаря вариации б* переменных, характеризующих состояние материи, исчезают вследствие принципа Гамильтона.
214
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 56. Уравнения гравитационного поля
Основная и важнейшая задача общей теории относительности — установление законов для самого G-поля. От этих законов нужно, конечно, требовать, чтобы они были общековариантны. Однако для однозначного их установления нужно поставить и другие требования. Основными соображениями являются при этом следующие:
1. Согласно принципу эквивалентности тяжелая масса равна инертной массё, а значит пропорциональна полной энергии. То же самое относится, очевидно, и к силе, действующей в поле тяготения на материальную систему. Поэтому представляется естественным принять, что и наоборот, только полная энергия существенна для поля, создаваемого материальной системой. Однако согласно специальной теории относительности плотность энергии не может быть описана скаляром, а является 44-компонентой тензора Tik, в котором к энергии равноправным образом присоединяют импульс и напряжения. Сформулируем поэтому наше предположение следующим образом:
В уравнения гравитационного поля не должны входить никакие другие переменные, характеризующие состояние материи, кроме полного тензора энергии-импульса Tih.
2. Сверх того, по аналогии с уравнением Пуассона АФ = 4л/фо,
Эйнштейн делает предположение, что тензор энергии-импульса Tih должен быть пропорционален дифференциальному выражению второго порядка, образованному только из gih. Поскольку это выражение вследствие постулата общей ковариантности, обязательно должно быть тензором, согласно (ИЗ) (см. § 17) находим следующую форму для дифференциальных уравнений G-поля:
ClRik + C2Rgih + czgih = kTih, (400)
где Rik—определенный формулой (94) (свернутый) тензор кривизны, a R — соответствующий инвариант (95). О геометрическом смысле этих тензоров CM. § 17.
Сущность сделанных предположений отчетливо выясняется при сравнении с теорией Нордстрёма, которая согласно Эйнштейну и Фоккеру [254] также может
I Be, УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
?19
быть представлена в общековариантной форме. В гравитационные уравнения Нордстрёма входит только скаляр T ~ Tt', причем он пропорционален инварианту кривизны R. Остальные уравнения теории Нордстрёма, которые еще до сих пор не установлены в развернутом виде, должны содержать утверждение, что линейный элемент при подходящем выборе координат всегда может быть приведен к виду
ds2 = Ф 2 (^i)2 >
т. е. что в некоторой системе координат скорость света постоянна. Мы видим, что эти уравнения поля, с точки зрения абсолютного дифференциального исчисления, кажутся совершенно искусственными и запутанными по сравнению с уравнениями теории Эйнштейна, в которые все компоненты Tlh входят равноправно.
3. Для того чтобы определить входящие в уравнения (400) вначале неопределенные постоянные Cl, сг и сз, мы должны рассмотреть связь общей теории относительности с принципом причинности. Если мы нашли какое-нибудь решение общековариантпых уравнений поля, то путем выбора других координат можно получить сколь угодно много других решений. Поэтому общее решение уравнений поля должно содержать четыре произвольные функции. Среди десяти уравнений поля (400) для десяти неизвестных gih должны, таким образом, иметься четыре тождества. Вообще в релятивистской теории для m неизвестных должно существовать лишь m ~ 4 независимых уравнения. Противоречие с принципом причинности является только кажущимся, так как все возможные решения уравнений поля отличаются друг от друга лишь формально, оставаясь физически вполне равноправными. Изложенные здесь соображения принадлежат Гильберту [296]*).
