Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
не2 = ^ 6,7.10~8 = 1,87 • IO"27 см/г. (409)
С с
220
ГЛ. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Одновременно оказывается, что и положительно, вследствие чего отрицательный знак в правой части уравнения (401) оправдан. Таким образом, общая теория относительности не дает никакого физического истолкования знака (т. е. гравитационного притяжения, а не отталкивания) и значения гравитационной постоянной; эти данные теория берет из опыта *).
р. Строгое решение для гравитационного поля материальной точки. Для определения движения перигелия Меркурия и искривления световых лучей нужно для поля материальной точки знать не ТОЛЬКО ?44, HO И ВСЄ ОСТВЛЬНЫе gth, а кроме ТОГО, И g4.t вычислить с точностью, на порядок большей. Уже в 1915 г. Эйнштейн [261] решил эту задачу методом последовательных приближений. Шварцшильд [299], а затем независимо Дросте [300] впервые дали ,строгое решение для G-поля материальной точки. Движение перигелия и отклонение лучей получаются из него практически такими же, как у Эйнштейна. Большой математическое упрощение внесла работа Вейля [301], который вместо полярных координат ввел декартовы и, кроме того, пользовался не общими дифференциальными уравнениями для G-поля, а вариационным принципом.
Поскольку поле материальной точки является статическим и сферически-симметричным, квадрат линейного элемента может быть приведен к виду
ds2 = "f [(da;1)2 + (dx2)2 + (dxz)2] +
+ l(x]dxl + x2dx2 + хЫхъ)2 + gu(dx4)2, (410)
где y, I a gu — функции только
г = У (я1)2 + (х2)2 + (зг1)2.
Однако этим координатная система еще не определена однозначно. Действительно, при преобразовании
Х'< = ШХ> [r' = l^(x-T + M’ + (i")! = /w],
(411)
*) В (409) стоит ксг, а не к, как у большинства авторов, так как здесь Tti имеет размерность плотности энергии, а ее плотности массы.
§ 58. СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ 221
содержащем произвольную функцию f(r), квадрдт линейного элемента сохраняет форму (410). Поэтому мы можем ещ:е далее нормировать координаты. Следующие два вида нормировки оказываются, в частности, удобными:
T = 1:
ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 + (dx1)2 +
+ l(xldx[ + x2dx2 +z!dx3)2 + g44(dx4)2; (410a)
Z = 0:
ds2 = Y [(dx1)2 + (dx2)2 + (dx2)2] + ga(dx4)2. (410b)
Мы будем производить интегрирование уравпений поля в координатах, в которых квадрат линейного элемента принимает форму (410а). Уравнения поля в области, не содержащей массы, которую мы здесь только и рассматриваем, согласно (401а), имеют простой вид
Rth = 0. (412)
Компоненты Rih тензора кривизны в нашем случае после введения сокращений
A2 = 1 + Ir2) Д = Y^g = h (413)
выражаются, как можно установить расчетом из (410а),
так:
Rih ^ [R22]^+([Rn]-[R,,]) для U = 1,2,3,
Г
(414)
Л Id (г%Л 2 Л'.
IitIiJ - 2 ‘ 2 dr ( Д / г Д ’
*44 4 1
= <415> R g44 I *
44 “ ,? 2 if I1 4 j’
где [7?ц ] и [і?гг] суть значения /?ц и соответственно
R'22 и Йзз в точке х] = г, ж2 = X3 = 0. Эти значения Лц
должны быть подставлены в (412). Из первого и третьего уравнения (415) сразу находим
Д' = 0, Д = const.
222 гл. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Если мы наложим еще условие, чтобы в бесконечности gik принимали свои нормальные значения (только после этого проблема становится определенной (см. § 62)), то далее получим
где т — постоянная интегрирования. Сравнивая с ньютоновым потенциалом Ф (см. (391)), находим, что эта постоянная связана с массой M материальной точки, создающей поле, формулой
Поскольку т имеет размерность длины, мы будем называть эту величину гравитационным радиусом массы. Легко убедиться в том, что соотношения (416) и (417) действительно удовлетворяют всем уравнениям поля*).
Согласно Вейлю, вычисление выражений (415) делается излишним, ?сли исходить из вариационного принципа (403). Для свободного от материи пространства мы можем также согласно (177) написать
В нашем случае можно здесь не вводить ни времени, ни координат х\, хч и яз, а рассматривать ® как функцию только г. Вычисление дает
*) В настоящее время принято называть гравитационным радиусом величину гв = IkMjc2. Область пространства-времени, лежащая внутри сферы радиусом rg, не описывается решением Шварцшильда, и потому это решение не полно. Выражение для метрики полного сферически-симметричного пустого пространства-времени было получено Сингом [402*] и Крускалом [403*]. Свойства этого решения таковы, что если при сжатии (коллапсе) тело достигает размеров меныпих гравитационного радиуса, то далее процесс коллапса становится необратимым и приводит к развитию сингулярности. Для внешнего отдаленного наблюдателя область, лежащая внутри сферы радиусом rg, недоступна для наблюдений, поскольку сигналы о событиях, происходящих там, удерживаются сильным гравитационным полем и не могут выйти наружу. Эта область получила название «черная дыра». Более подробно см.
[II.6* 111.18**, 20**, 22**, 24**], а также [404* 405*].— Примеч. ред.
Д = 1
(416)’
и из второго уравнения (415) следует, что g 44 = — 1 + 2т! г,
(417)
