Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
т = kMjc2.
(418)
(419)
в 58. СРАВНЕНИЕ и ОПЫТОМ 223
и (419) в силу того, что dx — 4яr2dr, принимает вид:
sJ^-ijrA’dr = 0. (420)
При варьировании h имеем Д' = 0, Д = const. Варьирование Д дает
?-{т~')г=0- (¦?— 1Jr='0"*1'
откуда, вследствие определения Д по (413), снова получается поле (416), (417).
Квадрат элемента линии принимает согласно (413) вид
dsi — (dx1)* + (dx2)2 + (dx3)2 +
-)——---------(xxdxx + X2 dx2 + Xs dx3)2 — (I — — ^ (dx4)2.
г (r—bn) \ r I
(421a)
Первая часть этого выражения, относящаяся к трехмерному пространству, может быть по Фламму [302] наглядно истолкована следующим способом. На каждой плоскости, проходящей через центр (например, я3 = 0), геометрия такая же, как в евклидовом пространстве па поверхности четвертого порядка, z — У8т(г — 2т), получающейся вращепием параболы
Z2 — 8m(xl — 2т), X2 = O
вокруг оси z. Действительно, на этой плоскости
ds2 = (dx1)2 + (dx2)2 H—S——-----(x'dx1 + x2dx2)2 =
г (г — 2m)
= (dx1)2 -f (dx2)2 -f dz2.
В точке r == 2m координатная система имеет особенность.
Вторая нормальная форма (410Ь) получается, по (411), с помощью преобразования
r = (1+ 27 Jr'- я'*=1!-*1 (* = 1,2,3). (422)
Тогда
ds2 = (l + Iidx1)2 + (dx2)2 + (dx3)2} -Эта координатная система распространена до г = т/2.
224
ГЛ. XV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1Y. Движение перигелия Меркурия и искривление световых лучей. Теперь мы переходим к вычислению траекторий материальных точек и световых лучей в гравитационном поле (421). Эти траектории являются геодезическими линиями четырехмерного мира, определяемыми вариационным принципом
или дифференциальными уравнениями (80). Из последних после простого расчета следует, что
Для материальной точки т означает собственное время, для светового луча — произвольный параметр, удовлетворяющий дифференциальному уравнению (105). Отсюда прежде всего можно заключить, что траектория материальной точки и светового луча является плоской и, далее, что если ось х?' перпендикулярна к этой плоскости и введены полярные координаты
ж1 = T cos ф; X2 — г sin ф, (424)
то существует закон площадей
r2dq>ldx = const = В. (425)
С другой стороны, из (81) путем варьирования времени, так же, как в § 53, Y, получаем
gudx^ldx = const.
Возводя эти выражения в квадрат и исключая dx*/dx
dr dx„
с помощью соотношения gik— — с для материаль-
dx^ dx
НОЙ ТОЧКИ И соотношения Sih2т~ 0для светового луча, находим для этих случаев соответственно
(81)
- const,
(426а)
(426Ь)
§ 58. СРАВНЕНИЕ С ОПЫТОМ
225
(426а) есть закон сохранения энергии. Оба отличаются от ньютоновых только наличием члена. Если ввести еще с помощью (425) в іезависимой переменной ф вместо т, то
лектории этими уравнениями определяются Последний члеп формулы (427а) вызывает еригелия планетных орбит в направлении об-ланет, равное за один период обращения
ая полуось, е — эксцентриситет). Учитывая тий закон Кеплера
= кМ = тс2
д обращения), выражение (428а) можно
кже в виде
гается еще обсудить уравнение (427Ь) для уча. Если бы последнего члена в левой части і световой луч был бы прямой линией, прохо-расстоянии А от центра. Возмущающий член :скривление светового луча, вогнутой к цент-
1 своим следствием общее отклонение на угол
)ь означает расстояние от центра до асимптот їй луча. Примененный здесь метод вычисле-ления луча предложен Фламмом [302]. Pac-!Йна [262], основанный на применении прин-;нса, приводит к тому же результату, как это ыть согласно § 53, у.
йденные здесь следствия теории тяготения допускают проверку на опыт;е. Что касается іерпгелия, определяемого формулой (428), то )ЧНО велико лишь у Меркурия, вследствие
(427Ь)
(427а)
т/а(і — е2)
(428а)
(429)
226
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
близости его к Солнцу и большого эксцентриситета его орбиты. Теоретическое значение для Меркурия таково:
Ал = 42,89", еДл = 8,82" в столетие
(см. таблицу в [303]).
Co времени Леиерье [304] астрономам известно, что в движении перигелия Меркурия имеется остаток, не объясняемый возмущениями со стороны остальных планет. Согласно новым перерасчетам Ныокома [305] этот остаток ранен
Ал = 41,24" ± 2,09", с Ал = 8,48" ~ 0,43".
Таким образом, теоретическое значение в приделах погрешности совпадает со значением Ныокома. Вопрос о том, насколько надежно само значение Лъюкома (пли оно неточно, как утверждают некоторые астрономі.!, из-за ошибок, допущенных им при вычислении), обсуждается в статье Ф. Коттлера (Kolller F. І! Enz. MatJs. Wiss., Vl2, 22). 'Гам же см. о псрелятивистсштх причинах движения перигелия Меркурия, к числу которых относятся, например, сплющенность Солнца, вращение эмпирической системы относительно пнерцналыюй, neiua-петпые возмущающие массы, особенно образующие зодиакальный свет (Зеелигер [306]). Эйнштейновское объяснение выгодно отличается от объяснения Зеелнгера во всяком случае тем, что не нуждается ни в каких не определенных параметрах. Совпадение значений Эйнштейна и Ныокома означает большой успех, даже несмотря на то, что в настоящее время трудно судить о точности числового значения Ныокома *).
