Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
где г = I (х[)2 +(a;2)2; Ci и Cs — постоянные; a = c2j}!k • F. Пространство обладает цилиндрической симметрией относительно направления поля; на любой плоскости, перпендикулярной направлению поля, имеет место такая Же геометрия, как на сфере радиуса а в евклидовом пространстве. Радиус кривизны в полях нормальной величины исключительно велик; например, в поле F = 25 ООО Гс а = 1,5 • IO15 км.
Вейль [301, 315] и в целой серии сообщений Леви-Чивита [316]*) дали также общие решения для произвольных распределений заряженной и незаряженной ма-
*) Общую форму дифференциальных уравнений G поля для статического случая Леви-Чивита дает в статье [293].
16 В. Паул ^
230
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
терии, обладающих цилиндрической симметрией. В этом случае G-поле само обладает цилиндрической симметрией и является статическим. В соответствии с нелинейным характером дифференциальных уравнений #44 зависит от масс не аддитивно.
§ 60. Общее приближенное решение Эйнштейна
и его применения
Строгие решения уравнений гравитационного поля до настоящего времени удалось найти лишь для статического случая. Поэтому очень важно, что Эйнштейном
[317] был указан метод, позволяющий приближенно определить G-поле в случае масс, движущихся сколь угодно быстро; при этом требуется, чтобы массы были достаточно малы. Тогда g« лишь мало отличаются от их нормальных значений, так что квадратами отклонений gih от этих значений можно пренебречь и в дифференциальных уравнениях гравитационного поля (401) нужно сохранить лишь линейные члены; поэтому их интегрирование может быть осуществлено без труда.
Если мы введем здесь снова мнимую временную координату X4 = ict, то можем положить
Следует заметить, ЧТО величины "{а, имеют тензорный характер лишь относительно преобразований Лоренца. Учитывая выражение (94) для свернутого тензора кривизны, приходим к следующему виду уравнений поля (401) в выбранном приближении:
gik = $ + Тй.
(437)
откуда, вследствие соотношения giagka = $i, с точностью до членов высших порядков, получаем
gib = Si — Yift.
(437а)
Здесь введено сокращение Y=Il Yaw
(439)
§ 60. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЙНШТЕЙНА
231
Далее, для упрощения, введем величины Yift = Yift — 1I2Sh,
(440)
а также присоединим еще обратные уравнения, решенные относительно нештрихованных величин:
Эти уравнения могут быть ещё значительно упрощены в случае подходящей нормировки координатной системы. Требованием, чтобы gih лишь немного отличались от их нормальных значений, координатная система устанавливается лишь с точностью до величин порядка Поэтому можно выбрать координатную систему, в частности, так, чтобы в нормированной системе выполнялось уравнение
2? = 0- <411>
Гильберт [108] дал математическое доказательство
t
того, что при любых заданных значениях Yift л первоначальной системе всегда может быть сделан такой выбпр координатной системы, чтобы новые координаты отличались от старых лишь на величины порядка и одновременно выполнялось требование (441). В нашем распоряжении имеется как раз четыре функции для того, чтобы удовлетворить четырем уравнениям (441).
Очевидно, что при условии (441) дифференциальные уравнения (438а) принимают простой вид
Yift = Ytt — V2Si'у'»
г Vl '
Y = Z Yaa = — Y< Тогда из (438) получим
(440а)
(439а)
(438а)
DYift----------2 к 71?,
(442)
где, как и в специальной теории относительности, DYift
д Yib
означает л —»• Интегрирование осуществляется извест-д дхаз
означает
16*
232
ГЛ. IV. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ным способом с помощью запаздывающих потенциалов:
В силу закона сохранения энергии (341а) эти решения с принятой здесь точностью удовлетворяют также уравнениям (441).
Из (443) вытекает, что гравитационные воздействия, так же как и электромагнитные, распространяются со скоростью света. Форма гравитационных волн в пустом пространстве получается из (441) и (442), если положить Tift = O. А именно, для плоской волны, распространяющейся по оси Xх,
1Yл = aih exp [iv (t — х/с) ], (444)
из (441) следует, что
ак 4 = — • (445)
Уравнения (442) выполняются тождественно. Эйнштейн [318] показал, кроме того, что при подходящем выборе системы координат можно добиться также выполнения соотношений
Яц = аІ2 = Й13 = 0, Й22 —Язз- (446)
Об излучении и поглощении гравитационных волн будет сказано в следующем параграфе (см. примеч. 17),
Для поля покоящейся материальной точин уравнения (443) дают
у'ы = — 4т/г, все остальные yik = 0,
^44 = -2 m/r, = у22 = "f33 =+2 т/г.
Таким образом, снова получаются величины первого порядка по полю (42Ib). Без особых затруднений может также быть вычислено поле п движущихся точек*). При этом прежде всего оказывается, что отклонения движения от законов механики Ньютона — второго порядка относительно v/c — в согласии с требованиями опыта.
Отклонение от механики Ньютона связано также со следующим обстоятельством. Релятивистская теория тя-
Vih (х, у, z, t) =
