Теория относительности - Паули В.
ISBN 5-02-014346-4
Скачать (прямая ссылка):
§ 51. Общая формулировка
принципа эквивалентности.
Связь между гравитацией н метрикой
Первоначально принцип эквивалентности был установлен лишь для однородных полей тяготения. В общем случае он может быть сформулирован так:
Для бесконечно малой области четырехмерного мира (г. е. для области, столь малой, что пространственно-временными изменениями силы тяжести в ней можно пренебречь) всегда существует такая система координат Ко (Хц Х-2, Хз, ^4), в которой сила тяжести, не влияет ни на движение материальной точки, пи на любые другие физические процессы. Коротко говоря, в бесконечно малой области мира любое поле тяготения может быть уничтожено с помощью преобразования координат. Местная система координат Ко может быть мысленно реализована в виде свободно парящего, достаточно малого ящика, на который не действуют никакие внешние силы, кроме силы поля тяготения, в котором он свободно падает.
*) A. Einstein [259], Одновременно с Эйнштейном и .независимо от него общековаряантные уравнения поля была установлены Гильбертом [2о0]. Изложение Гильберта было, однако, непривычно для физиков, так как Гильберт, во-первых, аксиоматически вводил вариационный принцип и, во вторых, что важнее, его уравнения были выведены не для произвольной материальной системы, а специально из теория материи Ми (см. гл. V). О других результатах Гильберта см. § 56 и 57,
§ 51. ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 197
Очевидно, что указанное преобразование возможно только потому, что поле тяготения обладает фундаментальным свойством сообщать всем телам одинаковое ускорение, или, иначе говоря, потому, что тяжелая и инертная массы всегда равны. Это утверждение имеет очень надежный экспериментальный фундамент. Действительно, при исследовании того, зависит ли результирующая силы притяжения Земли и центробежной силы (вращения Земли) от вещества тела, Этвеш [263] (см. также [264]) показал, что инертная и тяжелая массы равны с точностью до I/IO8. В связи с законом инертности энергии представляет далее интерес исследование Саутернса [264], показавшее, что отношение массы к весу для окиси урана отличается от соответствующего отношения для окиси свинца самое большее на 1/(2 • 10°). Из припцииа эквивалентности, действительно, следует, в сочетании с законом инертности энергии, что любой форме энергии нужно приписать также вес. Если бы внутренняя энергия, освобождающаяся при радиоактивном распаде урана, имела инертную массу и не обладала тяжелой, то указанные отношения отличались бы друг от друга на 1/26 000. Этвеш [263] подтвердил это, причем точность оказалась еще большей.
Представляется довольно естественным принять, что в Ко справедлива специальная теория относительности. Все законы этой теории должны, таким образом, сохраниться, если вместо галилеевой системы (см. § 2) ввести определенную для бесконечно малой области систему Kq. Все системы Ко, получаемые друг из друга путем преобразований Лоренца, равноправны. В этом смысле мы можем сказать, что инвариантность физических законов относительно преобразований Лоренца сохраняется в бесконечно малом. Двум бесконечно близким точечным событиям мы можем отнести определенное, могущее быть измеренным число — расстояние между ними ds. Для этого мы должны только с помощью преобразования координат удалить поле тяготения, после чего образовать в Ко выражение *)
dsг = dX\ + dX\ + dXl - dX\. (387)
*) В отличие от других авторов, мы и в общей теории относительности сохраняем в выражении для ds2 три знака плюс и Один знак минус. Это обстоятельство нужно иметь в виду при сравнении нижеследующих формул с обычно встречающимися.
198 гл. IV, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
При этом дифференциалы координат dX\, ..., dX4 следует определять непосредственно с помощью эталонных часов и масштабов. Рассмотрим теперь любую другую систему координат К, в которой соотношение между мировыми точками и значения координат ж1, ..х4 совершенно произвольны, если отвлечься от условий однозначности и непрерывности. Тогда в каждой точке пространства-времени дифференциалы dXt будут линейными однородными функциями дифференциалов dxh и величина ds2 перейдет в квадратичную форму
где коэффициенты gift являются фупкциями координат. Далее ясно, что при переходе к новым координатам величины gik преобразуется так, что ds2 остается инвариантным. Соотношения, таким образом, здесь вполне аналогичны имеющим место в неевклидовой геометрии многомерных многообразий (см. § 15). Система Ко в свободно падающем ящике играет роль геодезической системы § 16; в ней gik постоянны, если пренебрегать их вторыми дифференциалами, а элемент длины с точностью до величины второго порядка имеет вид (387). Совокупность значений gib во всех мировых точках назовем G-полем.
Закон движения материальной точки, на которую не действуют никакие силы, кроме гравитационных, может быть просто сформулирован так: мировая линия подобной материальной точки есть геодезическая линия (§ 17) и, согласно (81) и (80),
материальная точка в рассматриваемый момент движется равномерно и прямолинейно, т. е. a2X‘/ds2 = 0. Эти уравнения одновременно являются уравнениями геодезической линии в Ко. Утверждение, что мировая линия материальной точки есть геодезическая, инвариантно и, следовательно, справедливо и в общем случае. (При этом, конечно, принято, что закон движения для материальной ТОЧКИ He содержит вторых производных величин gift по координатам.) Справедливость такого простого закона не удивительна. Мы попросту определили элемент длины та-
