Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
на каждое собственное состояние. Вместо (24) мы получаем:
/ [ V(x, х0). v(x'> О) = D(x - х\ х0 - х'0). (43)
При квантовании согласно принципу Паули имеются две альтернативы: либо
энергия становится постоянным с-числом, что невозможно, либо в левой
части равенства (43) появляется функция Dv что противоречит нашим прежним
постулатам.
Следует отметить, что первоначальная форма теории с комплексной функцией
U очевидно эквивалентна теории с двумя действительными полями V==V* и W =
W\ соответствующими действительной и мнимой частям U. В связи с этим
целесообразно ввести множитель ~== так, чтобы в пёрестановоч-
Частные случаи полей
П
ных соотношениях не появлялось никаких численных множителей. Поэтому
положим:
U=r^(Y+iW), U* = -±={V-iW). (44>
Тогда из (24) следует, что
i[V(x, х0), V(x', = х0), W(x', Х'0)] =
= D (х - х', х0 - х'0), i [ V (х, хй), W (х\ х'0)] = 0. (45>
Тензор энергии-импульса (7) принимает вид:
т - 1 \*у дУ ¦ dw dW^
" 2 \_дХ[ 0xk' dxt dxk J lk '
t"^l(S),+ ((c)l+^<v.+ -4. ,<6>
а вектор тока
•-[S'-?4
Если согласно (39) V и W разложить по собственным состояниям и
воспользоваться перестановочными соотношениям"! вида (42), то энергия Е и
импульс О представятся в виде суммы двух выражений вида (40) и (41), одно
из которых зависит от V, а второе от W. С другой стороны, для заряда
получится выражение
e = ei%[W(k)V* (ft) - V (k) W* (ft)]. (48).
k
Отсюда можно получить "сокращенную* теорию с одним действительным полем
V, если опустить W и положить вектор
тока равным нулю.
§ 2. ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ ДЛЯ ЧАСТИЦ ГО СПИНОМ 1
(а) Теория с-чисел для случая отсутствия внешних полей Этот вопрос
стоит сейчас в центре внимания, с тех пор как Юкава, в целях объяснения
зависимости силы взаимодействия протона и нейтрона от спина, предположил,
что мезон имеет спин I1). Теория этого случая была предложена Прока.
J) Трудности, встретившиеся на пути построения ядерных сил, заставили,
однако, отказаться от простой схемы Юкава. См. Венцель, Введение в
квантовую теорию волновых полей, ГТТИ (1947), а также Pauli, Meson theory
of nuclear forces (1946). Готовится русски" перевод. {Прим. ред.)
32
Часть вторая
Простейшая возможность обобщения теории, изложенной в § 1, заключается,
повидимому, во введении векторного поля Uks, удовлетворяющего волновому
уравнению:
компоненты которого рассматриваются как независимые скаляры. Но легко
видеть, что при такой формулировке компонента U4=ziU0 приводит к
отрицательным членам в энергии, если зцаки выбраны так, что
пространственно-подобным компонентам вектора Uk соответствуют
положительные члены в энергии. Эту трудность можно избежать, потребовав
выполнения наряду с (49) дополнительного условия
Смысл этого условия становится особенно ясным в системе координат, в
которой частица покоится, а волновое поле зависит периодически от
времени, но не от пространственных координат. В этой системе равенство
(50) требует обращения U4 в нуль. Отсюда ясно, что тогда вследствие (50)
энергия обязательно положительна. Из лоренц-инвариантности теории
следует, что и в общем случае энергия (объемный интеграл плотности
энергии) положительна. Как мы увидим далее, можно показать, что в этом
случае плотность энергии в любой пространственной точке также
положительно определенна.
Антисимметричный тензор Uik = - IJkit связанный с Uk так, как
напряженности поля связаны с потенциалом ч в электродинамике, можно
получить и1 Uk с помощью операции rot:
Из (51) следует, согласно (49) и (50), равенство
Это соотношение существенно, так как оно показывает, что Ut однозначно
определяется при заданных Uik% так же как Uik определяются заданием Ut
согласно (51). Следовательно, при массе покоя, отличной от нуля,
добавление к Ut градиента недопустимо. Поэтому при х 0 не существует
градиент-
UUk - **?/* = 0,
(49)
(50)
(52)
Частные случаи полей
33
иого преобразования второго рода для U(. Стоит отметить, что (49) и (50)
вытекают из (51) и (52). Если продифференцировать (52) по xt и
просуммировать по /, то первый член обращается в нуль из-за
антисимметричности Uik, и получается (50). Подставляя затем (51) в (52),
получаем уравнение (47). Наконец, из (51) вытекают соотношения
^+§+т?г=°- <">
Рассмотрение (51)и (52) как основных уравнений теории, а остальных
уравнений как производных имеет известные преимущества, так как (51) и
(52) можно вывести из вариационного принципа
.b\Ld*x~0, '
если положить
(Здесь использовано обычное обозначение суммирования "немыми* индексами.)
При варьировании величины Ui9 Ulk = -Uы и сопряженные им должны
варьироваться независимо.
Для канонического тензора энергии, определяемого согласно (4), и. 1,
получается выражение и
дх{ ' dxt
Tik = 7&+-5~ V" - (55)
Его можно преобразовать в симметричный тензор. Согласно общим формулам
первой части (14) и (13 с), из (51) и (52)
вытекает, что
= (56)
где
=dtr ukr+u\ruir+х* (u'uk + ulu.) -
-bik[±lfrsUrs+t?(frUry (57)
.Из (48) следует, с одной стороны, что
