Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
условий. Цри этом {предположении можно ввести внешнее электромагнитное
поле путем
замены операции , примененной к ?АГ> в уравнении Лагранжа и в волновых
уравнениях, оператором
а примененной к U- оператором, комплексно-сопряженным Dk:
то такую замену производить не нужно; поэтому в дальнейшем мы не будем
рассматривать такие поля. Здесь - электромагнитный потенциал (с
размерностью, указанной в § 1),
а g - заряд частицы в единицах (%с)Ч". Напряженность поля дается
выражением:
Наличие поля сказывается в некоммутативности операторов Dk:
Таким образом, новая функция Лагранжа получается посредством изменения
определений t/J^ и U*^ в неизмененной функции
(21)
(21а)
(22)
D{Dk DkDt - i$f ^k-D\Dl==izflk.
(22a)
L (U%\ {/", U^r), U*W)'
С новой функцией ыы получаем:
Up = DkUW; ЦЦг) = D*kLrw.
(la)
Преобразования уравнений поля
15
Уравнения, получаемые из вариационного принципа (2), для фиксированных ук
принимают вид:
D'Jk = 0
* dU[r) dU(r) '
D JA dL_ (3a)
кд(ГкМ u* , . •
В производных no IJW мы всегда считаем постоянными Up { dWr>\
(а не Но если помимо этих уравнений существуют
некоторые дополнительные условия, то новые дополнительные условия,
получаемые подстановками (21) и (21а), могут оказаться несовместными с
другими уравнениями бёз дополнительных членов.
Построенная таким образом теория инварианта по отношению к градиентному
преобразований *):
?ЛО -> ; ц* И _ ц* (23а)
У* * У* ? * > (230)
причем теперь а может бьгёгь любой функцией положения. Это всегда верно,
если функция Лагранжа в отсутстзии внешнего поля инвариантна по
отношению'к преобразованию (17) с по-
стоянной фазой. Действительно, из (1а) следует, что соотношения
и$-+Шре*; ЦЦП - иЧг)е-ы (23с)
верны также и для преобразований (23а, Ь). Кроме того, из градиентной
инвариантности следует, что
Ц . dL C-i:
dl/p dU<p dL ^ dL дЦ^г) dUir) '
(24)
i) Термин .градиентное преобразование* (предложенный В. А. Фоком)
соответствует немецкому Eichtransformation и английскому gauge
transformation. {Прим. ред.)
16
Часть першая
Jk________
difkw dutf* '
(24a)
dU*^ dU*^
К , **- cum
Именно поэтому "выражения для операторов D* в первом и D во втором из
уравнений (За) совместны.
В частности, мы хотели бы отметить различие между полями вида ?ЛГ>,
испытывающими в группе градиентных
преобразований преобразование типа (23а), которое мы будем называть
градиентным преобразованием первого рода, и такими полями, как
электромагнитное поле, потенциалы которых испытывают градиентное
преобразование второго рода (23Ь). Это различие проявляется в том, что
только выражения, билинейные по U и U*9 связаны с физически измеримыми
величинами, даже если соответствующее поле квантуется согласно статистике
Бозе. С другой стороны, действительные поля V и напряженности
электромагнитного поля (квантующегося согласно статистике Бозе) являются
измеримыми величинами. Отсюда следует, что в принципе непосредственным
измерением могут быть получены лишь те величины, которые инвариантны при
градиентном преобразовании. [Значение точного равенства нулю массы покоя
фотона для преобразований второго тира рассмотрено во второй части, §§
2(c) и 2(e)].
Для расчетов, связанных с вектором тока и тензором энер-
гии, полезно следующее замечание- Пусть /* - произвольная функция or t/W,
которая умножается при
градиентном преобразовании первого рода на /e, a g-дру-
гая функция этих величин, которая умножается на еfe. Тогда
так как члены с <р* сокращаются. Аналогично для производной по хк от
инвариантной при градиентном преобразовании функции Лагранжа мы получаем:
dL
**к
Преобразования уравнений поля
17
Члены, содержащие ср, сокращаются в силу равенства (18), остающегося
справедливым при изменении UW и согласно равенству (1а).
Определим, как и раньше, вектор тока $k и тензор энергии Tik выражениями
"(19) и (4). Согласно (За), уравнение непрерывности (20) для тока
остается в силе. Из тензора энергии-импульса мы получаем, используя
(За) и выражение для :
+[(ВД-отогл<'Чз^тд}.
Следовательно, из (20) и (19) вытекает, что
(25)
к
Необходимо, чтобы это уравнение имело место для тензора энергии исходного
поля U там, где есть внешнее электромагнитное поле, так как оно выражает
наличие силы Лоренца. Оно оправдывает нашу трактовку sk как
четырехмерного вектора тока.
Мы еще не рассмотрели создания электромагнитного поля полем U.
Приведенные рассуждения наводят на мысль,' что это можно получить с
помощью уравнения Максвелла
st = , так как тогда выполняется уравнение непрерыв-
ности
S4(r"+S")=0'
к
где Тik - тензор энергии поля U, a Sik=flrfkr - ~frJrsbik
- тензор энергии электромагнитного поля. Однако применение корпускулярной
картины или вторичного квантования поля U при такой формулировке правила
введения электромагнитного поля приводит к известным трудностям
бесконечной собственной энергии. Эти трудности еще не преодолены.
Рассмотрим теперь возможность включения в функцию Лагранжа дополнительных
