Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения в q-числах. Эта формулировка имеет следующий вид:
I [и. (.", х0), U*k (х', x'Q)] = i [U*t (х\ xj,), Uk (х\ х'0)] =
= (*л-i дх%х^ D(x - x'> хо - хо)• (78)
Отсюда следует, что Utix', x'o) j =0,
так как (?-r?)D = 0.
Невыписанные скобки [?/Дх, х0), Uk(x\ Хо)]и [?/*(х,х0),?7*(х',хо)] должны
обращаться в нуль. Кроме того, из (78) следует:
[Uik {х, х0), if, (х\ хо)] = i [lfik (х, х0), Ur(x',xо)] =
~ (**г dxt ^ dx~J Х * Х° Хо^
i [U№ (х, х0), U*Ax', xQ)]=i[lfik (х, Хо), Urs (х\ хо)] =
_Г" * > * * г
[ ^ dXfdXg ir dxkdxs ksdx(dxf'^
+ *<-3^7r] --О- (80)
Заметим, что (78) приводит к отличным от нуля выражениям для [UA{x),
U*Ur)] и [UA(x)> dU\(xf)jdx^ при х0=х0 в отличие от результатов,
полученных при "канонических* перестановочных соотношениях.
ШтюкеЛьберг1) дал другой вариант приведенной формулировки. Он вводит Два
вспомогательных поля--вектор At и скаляр В, удовлетворяющих
дополнительному условию
($+**)*="•
1) Е. С. О. Stuckeiberg, Helv. Phys. Acta, 11, 225, 299 (1938).
Частные случаи полей
39
Если в перестановочных соотношениях рассматривать Ai и В как независимые
скаляры, то
, i [At (х, лг0), A*k (х\ х'о)] = blkD (лг - х\ лг0 - jsJ),
i [В (дг, дг0), В* (дг', дг')] = D (дг - дг', дг0 - дг').
Отсюда
Таким образом, дополнительное условие не противоречиво. Кроме того, в
силу этого соотношения общая энергия положительна, если только" функция
Лагранжа состоит из суммы членов, зависящих от независимых компонент поля
А(> В. Тогда и{9 удовлетворяющее уравнению
дается выражением
Это опять приводит к перестановочным соотношениям (78) для Ur Для А и В
существуют градиентные преобразования второго рода
Xi = Ai-\^^; ?' = ? - причем ?/ - y?f=0.
U. являются- инвариантами этой группы преобразований.
Как показывает Штюкельберг, преимущество этого метода заключается в том,
что взаимодействие мезонов, описываемых такими полями, с протонами и
нейтронами может быть рассмотрено с помощью формализма, совершенно
аналогичного формализму Дирака *),, примененному для рассмотрения
взаимодействия между светом и электронами.
х) См. П. А. М. Д и р а к, Основы квантовой механики, ОНТИ (1937), 2-е
издание. В случае мезонов дополнительное условие на Л/ и В остается
однородным, даже при взаимодействии с тяжелыми частицами (этого нет в
аналогичном случае для света), но появляются, с другой стороны,
дополнительные члены в ?/0, возникающие вследствие раэля-чия
дифференцирования по времени мезона и по общему времени.
40
Часть вторая
Однако мы не будем в дальнейшем вводить вспомогательные поля, а
дополнительное условие (50) будем рассматривать просто как тождество.
Единственный остающийся еще в (78) произвол связан с возможностью
введения численного множителя в правой части. Это связано посредством
равенства (18) с соответствующей нормировкой численного множителя
оператора Гамильтона. Покажем, что нормировка (78) находится в согласии с
использованием (55) в качестве тензора'энергии-импульса. Для этой цели
наиболее удобно разложить поля по собственным состояниям. При вычислении
выражения для энергии " следует учесть порядок множителей. Как видно из
равенства (14), множители в членах, возникающие от U (k) и U* (k),
появляются в пррядке, обратном тому, в котором они стоят в равенстве
(72). Как будет показано ниже с помощью сравнения с (20), равенство (18)
требует, чтобы перестановочные соотношения для Ur(k) и lfr(k) имели вид:
[Ur,+ (k), lf,t+ (А)] = [Ur,_ (к), Ul_ (А)] = Ьп (г, 5= 1,2,3) (81) и
чтобы остальные скобки для этих величин обращались в нуль. Но отсюда
следует, что U (k) и U* (k) [см. (67)] удовлетворяют соотношениям
'¦iVi, + (k)> Ul+Xkj] = [Ult_(k), ^-(А)] = ^("Л+|,АЛ)-(82)
Вводя этот результат в (67) и (68), мы получаем согласие с (78) при D,
определяемом равенством (25).
Следовательно, величины ЛГ+ (k) и N__ (k), определенные равенствами (82),
дают число частиц с за-рядаМи-f-l и -- 1 соответственно и с импульсом к.
Порядок множителей в выражении для энергии приводит, как ив § 1 (6), к
нулевой энергии в половину кванта на каждое собственное состояние.
Как и в скалярной теории, квантование согласно принципу
Паули невозможно, так как функция ?l - обращается
в нуль при х0 = х'0 вместе с D.
Различие между продольными и попер>ечными колебаниями 'пропадает в
системе, в которой частица покоится, т. е. для случая k = Q* Введение
нормальных колебаний согласно (76) излишне, так как вторая часть в (82)
обращается в нуль. Краме того, иЯ (68) следует, что ?/0 = 0, как уже было
упомя-
Частные случаи полей
41
*
нуто. Следовательно, при заданном знаке частоты в покоящейся системе
имеются три характеристических решения, преобразуемых друг в друга
пространственным вращением координатных систем. Этим доказывается
утверждение, что рассматриваемая теория в случае квантования описывает
исключительно частицы со спином 1.
(d) Теория г-чисел для случая наличия внешнего электромагнитного поля
Общее правило § 2 (b) ч* I для обобщения уравнений доля на случай наличия
