Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
!?=!?• <5ё>
3 В. Паули
34
Часть вторая
так что из равенства второй дивергенции нулю получаем обращение в нуль и
первой; с другой стороны, из (48) следует
tytidV=\TudV, (59)
откуда ясно, что безразлично, как вычислять полную энергию и полный
импульс - с помощью канонического тензора или Симметричного тензора.
Вводя величины UQi UQk,
UA = iU0, UAk=iUOk,Ul^iU*0, U*4k=iU*Qk(k=--\, 2, 3), (60)
мы получаем из (52) для плотности энергии -044 выражение **)
3 3
г= 3S (№¦о4- ИФк№)
Следовательно, плотность энергии является положительно определенной, как
и в скалярной теории.
Вектор тока, определенный согласно (19), ч! I, имеет вид
(62>
Однако мы увидим, что это выражение не является единственным, так как
дополнительные члены в I, пропорциональные //ъ могут изменить его даже в
отсутствии внешних полей.
Соответствующую теорию для псевдовекторного поля мы наметим, не вдаваясь
в детали. Вектор Ut заменяется тензором Ujmn, антисимметричным по всем
индексам (псевдовектором), a Uik - антисимметричным тензором такого же
типа, как и Uik. Уравнения (50) и (53) заменяются уравнениями
dUlmn dUmnk j dUnki dUklm - Q (63)
0xk dxt ' dxm dxn
= "*> g=0. (66)
!) В связи t этим важно иметь в виду смысл UAh {к = 1,2,3) и определенный
в первой части. U? и lfok означают настоящие комплексно-сопряженные
значения (Jq и Uq
Частные случаи полей
35
(Ъ) Собственные состояния в пространстве импульсов
Выпишем сначала амплитуды трех пространственных компонент (без
нормировки):
и* (х, х0) = (V) *'2 -L. { и; (A) ехр [/ (-k- х + Ч*
4- U_ (A) exp [/ (k- х - A0x0)]}. (67>
U (дс, лг0) = (V) U+ (А) ехр [г (к-х - А0дс0)] +
к * 1
+ Ul (k) ехр [ / (- к • х + *0*о)]} >
где к* дается выражением (12). Тогда из дополнительных условий (50)
следуют для четвертых компонент U*k н Uk равенства:
Ul(X, х0) = (УГ''гЕу={]~к-U* (А) ехр[/(-к-х + АЛ)Ц-к*U- (А) ехр[/(к-х -
А0х0)] (68)
U0{х, *о> = (V)~'%2 -1= к-U+ (А)ехр[/(к• х- А0*0)] -fc
+ ^ к- и! (А) ехр [г (- к- х + A0x0)J J.
Если определить пространственный вектор V0 с компонентам" UQk (k =1,2,3)
и второй вектор V с компонентами^, Uzv U2l9, то из (46) следует:
Vo (х, х0) = (V)~ 7lX у= j [-Аи1С (А) 4-
+ уд (к'VI (А))] ехр [г (- к- х + А0лг0>] 4-+ [*oU_ (А) - ± (kU_ (А))]
ехр [/ (к- х - АЛ)1 J , (69)
3$
Часть вторая
V0 (*, х0) = (V)~4' | |ft0ff+ (ft) -
- ^ (к • U+ (ft)) ] exp [г (к • х - ft0x0)] -f (69а) + [- ft0Ul(ft) +
± (к- Ul (ft))] exp [i (- к- x -f ftpjeo)] J ,
V • (*, хй) = (V)~ V* X (- tk X U*+ (ft)] X (70)
k У1
X-exp[/(-k*x-f fto-vo)] + [kXU- (*)] exp.[г (k-x-ft0x0)]}, V{x, x0) = (V)
y={[к X U+ (ft)] exp [i (k- x - ft0x0)] -
- [к X Ul (ft)] exp [i(-k-x-f ft0x0)]}. (70a) Е'с'Лй для сокращения
пбложить
N+(ft) = ft0(U*+(ft)U+(ft))-^(k-U; (ft)) (k.U+(ft)),(71)
' " ' N_ (ft) = ft0 (Ul (ft) U_ (ft)) - ? (k- U*J(ft)j; (k - U_ (ft)),
(72)
для энергии, импульса и заряда из (52), (53) и (54) следуют выражения:
+ (73)
к
. -o:=2k[(V+(ft) + AL(*)].- (74)
к
(. . " = Р2][Л/+(ft)-i4_(ft)]. (75)
к
Выражения (к) и Л/_ (&) являются билинейными формами трех компонент U и
U*. Их можно привести к диагональной форме и нормировать, разбив U и U*
на компоненту, параллельную к (продольное колебание), и две компоненты,
перпендикулярные к (поперечные колебания). Пусть ех и е2 - два
комплексны* ортогональных единичных вектора, перпендикулярных к\
^ (ег-Ч) = 5Г" (er-k) = (eVк) = 0 (г, s = 1, 2).
Частные случаи полей
37
Если положить
и* (ft) = (ft0f V* er ur,* (*) + T},/' If t/з. * (ft).
= (*.f V' ? *W. * (*> + XV' |Ti<4* (*>. (76)
то Л/+ (&) и AL (&) принимают нормальный вид:
лг+ (А) = S ^. + (*)
r=i
з
iV_ (ft) = S lfr, _ (ft) ?/,. _ (ft). (77)
Г=1
Это есть просто преобразование к главным осям.
(с) Квантование
Прежде чем формулировать Перестановочные соотношения, отметим разницу
между специальным случаем х = 0 (электродинамика) и интересующим нас
случаем, В электродинамике обычно компоненты вектора (J{ квантуются как
независимые скаляры согласно непосредственному обобщению равенства (24):
I [и, (X, х0), u*k (X', *;)] = IЩ (X, х0), Uk (х\ 4)] -
= blkD(x-x', х0 - х[).
Но тогда соотношение (50) должно быть введено в качестве
дополнительного,условия в виде
Оператор в левой части этого соотношения не должен
обязательно коммутировать со всеми другими величинами, но дает нуль в
применении к функции Шредингера V. Однако необходимо, чтобы он
коммутировал с комплексногсопряжен-ным ему оператором в различных
пространственно-временных точках. В нашем случае простые вычисления дают
38
Часть вторая
!
Но QD = y?D и при х=^=0 правая часть не равна нулю. Следовательно, мы
пришли к выводу, что при массе покоя, отличной от нуля, перестановочные
соотношения для Ut не могут быть такими же, как для независимых скаляров.
Простейший метод вторичного квантования в случае (который мы будем
рассматривать в дальнейшем) заключается в такой формулировке
перестановочных соотношений, при которой не только волновое уравнение
(49), но и дополнительное уравнение (50) тождественно удовлетворяются как
