Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
определенной, тогда как энергия может иметь два разных знака.
Вследствие подстановки (107-109) вектор тока ведет себя шб отношению к
прострайсТвенным отражениям как обычный вектор. Но при перемене знака
временной координаты знак не изменяется, тогда "как знаки
пространственных компонент sk •меняются. С^рдовательно, при перемене
знака у всех координат величины sk остаются без изменения. С другой
стороны, тензор энергии меняет знак при перемене знака всех координат,
как видно, например, из ^ 105).
Рассмотрим теперь ир, являющиеся плоскими волнами с определенным вектором
распространения (к, k0). Из (101) снова следует, что kl = k2-\-y.2. Для
данного к и данного Знака kQ имеются, очевидно, два решений .волновых
уравнений (99) или А(110), которые в покоящейсй системе к = 0 могут быть
преобразованы друг в друга Посредством пространственных вра-(тений. Таким
образом, частицы, связанные с этими волнами,
Is' имеют спин у.
м в. Пау ли, Общие принципы волновой механйки, ГТТИ (1947), ч. И, § 2.
Частные случаи полей
49
Исследуем теперь подробнее связь решений
u? - ar^(k) exp (/ [к-х- &0*о]) Для г-\% 2 (122)
и
ир = Р(k) exp (/ [-к-х - &о*о]) Для г- lf 2, (123)
где под k0 мы понимаем, как и в §§ 1 и 2, положительную
величину
•
При соответствующей нормировке аг
SKr^,=K.-- 024>
р р
С помощью метода операторов аннигиляции и используя волновое уравнение,
мы приходим к соотношениям
X aea*'rz=wSko + (а'к) + *?);
г= 1,2 0
Jl2 ъ%т = щ (*" -("•*)- *"•
(125)
Кроме того, между решениями с положительными и отрица-
тельными частотами существует лоренц-инвариантное соответствие. Для
доказательства заметим, что и_ удовлетворяет тому же волновому уравнению,
что и я+, где
и*_ = Си+, л+=С"1"1, (126)
если
Р*^- - СрС-1, а* = СаС-i. (127)
Матрицы а*, Р*, комплексно-сопряженные а, р, определяются соотношениями
(а*)" = (а")* = V (Про = (Рро)* = К
Матрица С действительно существует, так как - р*, а*
удовлетворяют тем же соотношениям (100), что и р, а и Y&-Из (126) ясно,
что С*С коммутирует со всеми yk и, следова-
4 В. Паули
50
Часть вторая
тельно, является постоянной. Заметим без доказательства, что матрица С
симметрична, когда - эрмитовы матрицы1)
Св(=ср, (128)
Отсюда следует, что постоянная С*С положительна- Поэтому можно подходящим
выбором множителя у С добиться, чтобы
С*С= 1. (129)
Имеется специальное представление для которого а и действительны. В этом
случае С является единичной матрицей.
Инвариантность соответствия, даваемого формулой (126), по отношению к
лоренц-преобразованию имеет место, если в силу (104) мы можем от (126)
перейти к соответствующему сооткошению для штрихованных функций, т. е.
если
А*С=СА или А* = САС~1. (130)
1 1
Доказательство справедливости этого соотношения для непрерывных
лоренцовых преобразований дано в статье, указанной в сноске на стр. 291
Как вйдно из (107-109), А определено для всех отражений, так что (130)
остается справедливым. Следовательно, соответствия (126) остаются
инвариантными при всех отражениях.
Можно, очевидно, произвести специализацию #?, полагая
1 %(A)=ScpX(^); яГ(*)=2сраг(*)- (131)
1 О
Следуя Крамерёу2), мы можем говорить о двух решениях, связанных
соотношениями (126), как о решениях для противоположных зарядов. Эта
терминология оправдывается рассмотрением действия внешнего
электромагнитного поля. Его можно провести согласно § 2 (d) первой части,
произведя подстановку
~ >Dk в волновое уравнение (99) или (100). Если удовлетворяет волновому
уравнению с зарядом -}- е, то и j удовлетворяет уравнению с зарядом -е.
Но оказывается, что вектор тока (117)
]) Inst. Н. Ротсагё, Ann. 6, 109 (1936), стр. 121 и 130.
2) Н. A. Kramers, Ргос. Amst. Sci, 40, 814 (1937). Понятие решений для
противоположных зарядов может быть обобщено для более высоких
произвольных значений спина. Но мы не можем здесь останавливаться на этом
вопросе.
Частные случаи полей
51
сохраняет свой знак в состояниях с противоположным зарядом. Однако мы
увидим, что этот недостаток устраняется в теории #-чисел.
В связи с этим, по аналогии с § 2 (d), интересно добавить в функции
Лагранжа члены вида
L' - L -1\ afY/Y*a/". (90а)
где fik напряженности внешнего поля в естественной системе еди- > ниц(§
1,ч. 1), а / имеет размерность длины. Как известно, если не:вво*< дить
дополнительных членов, то для магнитного момента получается значение
Тогда во внешнем поле мы получаем видоизмененное волновое уравнение
YkDku + *и + т11 fik Ши = °- (132)
Для малой скорости частиц мы приходим к дополнительному члену в магнитном
моменте вида - l(ftc)lfK Из уравнения (27),ч.1,' мы видим, что
дополнительный член в волновом уравнении приводит к новому члену в
выражении для тока. Новое вйраэкение для тока принимает вид:
s'k = eiu^ku +1A (un^jU), (133)
Стоит отметить, что для электрона магнитный момент как раз
равен ~ , так что дополнительный член не нужен. Но для
протона или нейтрона положение иное. Для последнего магнитный момент
