Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
членов, зависящих явно от напря-
2 в. Паули
18
Часть первая
женностей поля fik и подчиняющихся принципу градиентной .инвариантности.
Первоначальное определение тока и уравнение непрерывности для тока
сохраняют силу, но вместо (25) мы получаем1)
V4 dTflfe / с_______* dL.dfrs
1+ dxk ~ JikSk 2 dfrs дхi •
k
Это приводит к необходимости дополнительных членов в Tik и sky так как
для новых величин Т\к и $'к должно выполняться соотношение
Выражение для sk легче всего найти из уравнения, получающегося при
вариации срЛ:
5 j Ld4x - - J $^5vkd4x.
Отсюда
s*==s*- dXfWki' ^
Дополнительный член удовлетворяет уравнению непрерывности, так что
равенство
К
= ° (20а)
idxk
к
.также выполняется. Уравнение (25а) выполняется, если положить
¦ . . ¦ <27)
Это можно проверить, используя уравнения Максвелла
dfks | dfik f dfsi л
dxt ' dXg dxk '
вытекающие из (22).
Использование таких дополнительных членов для описания частиц, имеющих
магнитный момент, будет разобрано во второй части, §§ 2(d) и 3(a).
!) Множитель 112 в дополнительном члене появляется потому, что
суммирование по г и s производится независимо. При этом условии
для вариации напряженностей поля получается выражение
I L = ±~Sfrs.
2 df,
rs
ЧАСТЬ
II
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПОЛЕЙ *
\
§ 1. ВОЛНОВЫЕ ПОЛЯ ЧАСТИЦ БЕЗ СПИНА *
(а) Волновое уравнение, вектор тока и тензор эиергин-кхнульса
Простейшим примером релятивйстски-инвариантного волнового уравнения
является скалярное уравнение
Пи-х2?/=0, (1)
где ? - оператор,
? =Д (2)
"*0
Ъ - Щ- у т - масса покоя, Й-квант действия, деленный
на 2тг. Мы не требуем, чтобы U было действительно.
Волновое уравнение (1) можно получить из вариационного принципа
Ь j Ldix = О
(d*x-четырехмерный элемент объема), если в качестве функции Лагранжа
взять
1=Щщ+*и'и- <3>
Отсюда для вектора тока мы получаем, согласно уравнению
(19), ч. 1,
где е - заряд частицы в единицах (%с)^ш. Этот вектор тока, удовлетворяет
уравнению непрерывности
Ж? = °- <5>
1) Такой порядок сомножителей удобен в теории #-чисел, так как при
этом нет нулевого заряда.
22
Часть вторая
Тензор энергии-импульса Tik определяется в этом случае равенством
dU*dU . dU*dU Т>
(6)
Он также, удовлетворяет уравнению непрерывности
zSH- (7>
к
Тензор Т№ симметричен; кроме того, плотность энергии -7-4* является
положительно определенной, что весьма существенно
w= -Ти = - + grad и*-grad U+if?U*U=
=w0 w, +;Brad u*'¦^ u+x2U*u- (8)
Часто бывает полезно преобразовать волновое уравнение
второго порядка в следующую систему волновых уравнений
первого порядка:
dU bUj
*к
ик=^~, 4p = t?U. (9)
* dxb* дхь 4 1
Эта форма уравнений более походит на систему уравнений в векторной
теории, которую мы разберем далее. Кроме того, эти уравнения можно
вывести из вариационного принципа, если взять функцию Лагранжа в виде
+ + (10)
причем ?/fe, U и комплексно-сопряженные им величины должны варьироваться
независимо.
Соответствующую теорию можно построить для псевдоскалярного поля. В ней
скаляр U заменяется псевдоскаляром UMmn% антисимметричным по всем
индексам, а вектор Uk - псевдовектором икш также антисимметричным по всем
индексам. Тогда уравнения, аналогичные (9), будут иметь вид:
dUklmn . dxk *
dpimn. dl/mnk ¦ dUnkl dUkim ...
dxk dxt ' dxm dxa klmn'
(H)
Частные случаи полей
23
(Ъ) Собственные состояния в пространстве иппуДьсов. Решения,
сопряженные по знаку заряда х)
Как известно, самое общее решение уравнения (1) можно представить в виде
суммы плоских волн. Если ввести в рассмотрение большой куб, длина ребра
которого L, так что решения периодичны в кубической решетке длины L, то
компо-
2я
ненты волновых чисел должны быть кратны -j-.
Из волнового уравнения (1) следует, что волновые векторы (А0, к)2)
удовлетворяют известному соотношению
kl=zk?-\-x*. (12)
Под k0 будем всегда понимать положительный корень:
ft0 = + /ft2 + x2. ; (12а)
Мы м<^жем написать:
и* (x,xj = (VO- Чш 2 (2A0f,/з X { Ul(k) exp [/(-k. х -{- Vo)]4-
k
+ ?/_(?) exp [/(k-x - Vo)]}. (13)
U(x,xo) = (VO" ¦'* 2 (2Л")" V' X {U+ (ft) exp [/ (k - x - Vo)] +
k
-f{/(ft)exp[/(- k-x + Vo)]}- (13a)
Обозначения выбраны таким образом, что амплитуды разложения Фурье со
звездочками умножаются на exp (l\xQ)y а не
имеющие звездочек - на ехр(-ik0xQ), Величина (2kQ) * бе-
рется всегда положительной.
Из (5) и (7) для полной энергии, полного импульса и полного заряда
получаются выражения:
?=_$г44^=2 k0[u*+(k)u+(k)-{-u_(k)UL(k)], (И)
J k
о = 2 k [IT (ft) U+ (ft) -}- [/_ (ft) Ul (ft)], (15)
k
е = [tf+(k)U+W-if_(k)U_(k)]. (16)
!) Charge conjugate solutions. (Прим. nepee.)
2) В случаях, когда не может возникнуть недоразумения, векторы к и х
будут набраны курсивом.
24
Часть вторая
Уравнение (16) показывает, что собственные колебания с отрицательной
частотой у U* (и положительной частотой у U) принадлежат состояниям с
отрицательным зарядом. Это находится в согласии с. тем фактом, что знак
вектора тока меняется, если U и U* в (4) меняются местами, а тензор
