Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
принцип Паули. Исходя из функции Гамильтона (8) или (14), мы должны,
прежде всего, потребовать, чтобы соотношения (20) попрежнему выполнялись,
причем скобки имеют свой прежний смысл. С другой стороны, выражения
являются с-числами. (Здесь скобка определена равенством [А, ?]+ = АВ-\-
ВА.) Из (20) следует, как и раньше, что первые две скобки всегда равны
нулю, а последняя отлична от нуля лишь при k = kf и одинаковых индексах
или -• у величин, входящих в скобки. Далее,
Последнее равенство противоречит предположению, что U* является эрмитово-
сопряженным с 7/, так как при этом левая
D (л:, х0) - 4к1Г дг^
(29)
Г J0(xVх10 - г*) для *0>г
F(r, х0) = { 0 для г>х0>
/0 (7. Vx* - Г2) ДЛЯ -
г (30)
i [U(х, -с0), U* (х\ х0)} =0,
.• Г ди (лг, хй)
L А*о *
[
= 5 (х - х').
[Щк), ?/(ft')] + , [(/*(*), U*(k')]+, [U{к), U*(k')] +
^ (A) U+ (А) + U+ (к) U*+ (k) = 1,
(к) U_ (k) + U_ (к) UL (к) = - 1.
!) См. Р. А. М. Dirac, Proc. Camb. Phil. Soc. 30, 100 (1934)"
28
Часть вторая
часть равенства должна быть существенно положительной. Однако это
предположение необходимо для того, чтобы физические величины, как,
например, плотность заряда $09 имели действительные собственные значения.
Можно также показать, что в теории скалярного поля не может быть
проведено квантование согласно принципу Паули без использования
специального гамильтониана и равенства (18). Наряду с функцией D имеется
другая функция Dv являющаяся инвариантной и удовлетворяющая волновому
уравнению (1), а именно функция
Особенность Dx на световом конусе определяется равенством (28), также и в
общем случае х=?0.
Так как скалярное поле должно удовлетворять волновому уравнению (1) и
быть релятивистски-инвариантным, то единственно возможными являются
соотношения:
где с и сг - постоянные. Поэтому мы постулируем для дальнейшего, чтб
любые две физические величины, относительные координаты которых лежат вне
светового конуса, коммутируют. Вследствие этого левая часть равенства
(35) для таких точек должна обращаться в нуль, если взять знак плюс.
Иначе мы получили бы некоммутативность в обычном смысле для величин,
(•*. *о) = (5js $ *гк*cos (Mo)-
(31)
При 7С = 0
(32)
В общем случае можно положить
?>i (лт, д:0) - 4^7*" дг ^1
(33)
где
Na (¦/ V*1 Г2) ДЛЯ JC0^>r ИЛИ Г<^Хо
АГ0 - функция Неймана, - функция Ганкеля первого рода.
[U{x, х0), U* (х\ ^)]± = cD (х - х\ х0 -х'0) +
-f cxDx{x - х', х0 -
Частные случаи полей
29
билинейных по U и U* и инвариантных при градиентном преобразовании, как,
например, плотность заряда1).
Наш постулат оправдан тем фактом, что измерения в пространственно-
временных точках, связанных пространственно-подобным интервалом, никогда
не могут влиять друг на друга, так как сигналы не могут распространяться
со скоростью, превышающей скорость света. Во всяком случае, те теории,
которые, вместо D или наряду с D, используют при квантовании функцию Dv
приводят к следствиям, весьма отличающимся от известных сейчас.
Таким образом, если наш постулат о коммутативности выполнен, то
постоянная сг в (35) должна обращаться в нуль, так что
[U (х, х0), U* (х\ я')] = const D(x - х', Xq - x'Q). (36)
Но если взять скобку с положительным знаком, то левая часть равенства
будет существенно положительна при х = х', x0=x'Qy а правая обратится в
нуль для лг0 = л:'. Таким образом, мы пришли к противоречию, аналогичному
полученному выше2).
В итоге мы показали, что в релятивистской теории частиц без спина,
основанной на общих постулатах, квантование может происходить лишь
согласно статистике Бозе - Эйнштейна.
В этом случае всегда U=U*> вектор тока тождественно равен нулю и
соответствующие частицы не могут породить электромагнитного поля. Для
функции Лагранжа и тензора энергии-импульса напишем выражения:
х) См. W. Pauli, Inst. Н. Рошсагё Ann. 6, 137 (1936). Обобщение этого
рассмотрения для целого спина см. W. Paul i, Phys. Rev. 58, 716 (1940).
(См. перевод последней статьи в дополнении.-Прим. ред.)
2) Это легко обнаружить также пространственным разложением функций U и U*
в ряд Фурье. Если а (k) = U + (k) + U_ (k) и и* (k) =
= О + (?) -(- №) [см. (19)] - соответствующие амплитуды, то из (24)
следует при х$ = х0 в случае применимости принципа Паули, что
[а (&), и* (Л)] + = 0 для всех собственных состояний. Отсюда следует что
U+ (к) = {к) = 0.
(d) Действительное поле
(37)
so
Часть вторая
Между коэфициентами разложения Фурье (13) имеются дополнительные
соотношения
V_'(ft)=VMA), Vl(A)=V*+(A).
Это позволяет записать (13) в более простой форме:
V (х, х0) == (V)-V"2 (2&0)-1,11 { К (A) exp [/ (k. X + А0Хо)] +
к
+ V* (А) ехр [/(- к.х4~Мо)]}. (39)
Энергия и импульс принимают вид
Е = ТГ-J kQ ['V* (k) V{k)+V (k) V* (&)], (40)
k
0 = ?ук[*'*(Л)У(*)Ч-У(*)*'*(*>]- (41)
k
Перестановочные соотношения (13) остаются в силе:
[V(k)9 V*(ft)]=l, (42)
а скобки [V(k\ V{k')]t [V*(A), V*(k')] и (при k=?kr)
[V(k)> К*(АГ)] обращаются в нуль. Из уравнения (40) видно, что нулевая
энергия вакуума опять равна половине кванта,
