Релятивистская теория поля элементарных частиц - Паули В.
Скачать (прямая ссылка):
должен быть получен только из нового члена,
ибо здесь е - 0, так что подстановка Db вместо не
нужна. Важно также, что при переходе к решению для противоположного
заряда вместе со знаком s должен меняться знак /. Таким образом, эти
решения являются противоположными и по магнитному моменту частицы (см. §
2, ч. I). Следует заметить, что дополнительный член вводит в теорию новую
константу с размерностью длины. Дискуссию результатов введения
дополнительных членов в функцию Лагранжа и соответствующих членов в
выражение для тока для случая спина, равного 1, см. в § 2 (d).
52
Часть вторая
(b) Квантование согласно принципу запрета
Мы видели, что для спина */2 в теории с-чисел энергия не является
положительно определенной; имеется одинаковое число положительных и
отрицательных собственных значений энергии. Положение не изменится, если
ввести квантование по Бозе-Эйнштейну. Но Дирак указал, что эти трудности
с отрицательными уравнениями энергии могут быть устранены путем изменения
определения вакуума, если ввести квантование согласно принципу запрета.
Вакуум определяется как состояние с наименьшей энергией среди тех
состояний, для которых число частиц в каждом состоянии удовлетворяет
принципу Паули. Это ограничивает число частиц, находящихся в каждом
невырожденном состоянии, значениями 0 и 1. Таким образом, вакуум
определяется как такое общее состояние, при котором все уровни
отрицательной энергии заняты. Тогда незаполненный отрицательный уровень,
так называемая "дырка*, ведет себя по отношению к определенному так
вакууму как частица с положительной энергией и зарядом, обратным
первоначальному.
Эта формулировка теории "дырок* Дирака не вполне симметрична по отношению
к двум частицам противоположного заряда. В дальнейшем мы будем следовать
формализму, предложенному Гейзенбергом1), выражающему то же физическое
содержание в более симметричной форме.
С этой целью начнем с определения перестановочных соотношений для
волновых функций. При применении принципа Паули следует рассматривать,
согласно Иордану и Вигнеру, скобку
[ир (*, хй), и\ (X', дф]+ = ир (л:, хй)9 и* (*', дф 4-
+ и9 (*"*<>)•
Надо заметить, что правая часть этого выражения должна удовлетворять не
только волновому уравнению второго порядка (101), но и волновому
уравнению первого порядка (99) или (ПО). Это имеет место, если
<(*'"*?)]+ =
l) W. Heisenberg, Zeits. f. Physik, 90, 209; 92, 692 (1934).
Частные случаи полей
53
где D - функция, относящаяся к волновому уравнению второго порядка с
массой покоя 7, определенной равенствами (29), (30). С помощью волновой
функции и* и матриц уЛ можно, используя (111) и (113), переписать (134) в
виде:
i[ut{x,Xv),u\ (х\ *')]+ =
= + <135>
Волновое уравнение первого порядка выполняется в силу того, что оператор
^7-f-a + в применении к (134)
или оператор в применении к (135) приводят к оператору -
дающему в применении к функции D нуль.
Релятивистская инвариантность установленного выражения видна* из (135),
но анализ соотношения легче производить с помощью (134).
Совместимость выражения (134) со знаком плюс в скобках с основными
соотношениями основана существенным образом на том, что в правую часть
входят первые производные функции D (в общем случае возможны производные
нечетного порядка). Вследствие этого правая часть становится четной
функцией от х - х\ х0 - хи для х = х' и л;0 = х'0 алгебраическое
требование положительности левой части выполняется. Действительно, для
лг0 = л;', согласно (27),
{"р (*, *0). < (•*'. *оЯ+ = М _ Х">' (136)
Введем теперь разложение ир(х) по собственным колебаниям
Ир (*. -"о) = (^Г '' 2 2 { и' (k) К (k) ехР (* [к-х - VoD +
r k г =1,2
+ U*1 (k) Ь*(k) exp (/[-к-х 4- Vo])}.
"р (*> х0) = (V)" U 2 2 {"¦ (k) a]r(k) exp (t [-k-x-f Vo])+
k r= 1,2
+ Hi (6) b*r (k) exp (/ [k-x - VoD},
где u\ (k) и uL (k) и комплексно-сопряженные им выражения являются ^-
числами, а с-числа я?(&) и Ьг(к) определены и нормированы соотношениями
(122), (123) и (124). Из (124) и опре-
54
Часть вторая
деления функции D (25) следует эквивалентность (136) и соотношения для
скобок
К (А), (*)] + = ["1 (А), (*)]+ = (137)
Остальные скобки со знаком плюс обращаются в нуль.
Развивая далее идеи теории * дырок" Дирака, введем следующее правило
Гейзенберга о порядке множителей, которым мы будем пользоваться при
переходе от теории г-чисел к теории <7-чисел. Пусть F-любой эрмитов
оператор теории г-чисел. Тогда
u*Fu=u*Fu
р ра а
следует заменить на
1 =т <u*Fu - uF*u*]- <138>
Последнее выражение правильно, в смысле операторного исчисления, также и
тогда, когда F содержит эрмитов дифференциальный оператор. В этом случае
все сводится к тому, что к оператору следует добавить члены, в которых
дифференциальный оператор действует на первый член и которые при
интегрировании по объему дают то же самое, что и члены, входящие в
выражение (138). Применение этого правила к выражениям (118), (120),
(121) для энергии, импульса и заряда дает:
