Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
4. Системы с двумя степенями свободы с трением.
В обоих рассмотренных в и. 3 примерах характеристическое уравнение оказалось биквадратным и найти его корни было легко. В более сложных случаях, например для полного уравнения четвертой степени, определение корней оказывается гораздо более трудной задачей. Однако для суждения о знаках вещественных частей корней нет необходимости решать характеристическое уравнепие,— Раус и Гурвиц указали условия, которым должны удовлетворять коэффициенты характеристического уравнения, для того чтобы вещественные части всех корней были отрицательными; приведем условия Рауса—Гурвпца без вывода.
§ 12. Устойчивость состояний- равновесия
201
Пусть характеристическое уравнение записано в виде
Ы" + Ы"-1 + Ы"-2 + ¦ • • + Ьп = 0;
для того, чтобы среди его корней не было ни одного с положительной вещественной частью, необходимо и достаточно выполнение неравенств
ъ0 > 0, > о,
&0 &2
о,..
ь. К ¦ . 0
1 3 5
ьл ьа Ьл . . 0
0 2 4
0 Ь1 V . 0
0 \ IM «а . . 0
>0.
В частности, для характеристического уравнепия третьей степени условия Рауса—Гурийца имеют вид
Ьо >0, b і > 0, Ь2 >0, Ьз > 0,
b 1^2 — bobs > 0,
а для уравпения четвертой степени — вид Ьо >0, Ь\ > 0, Ь% -'“О, Ьз > О, > О,
В качестве примера рассмотрим плоскую систему типа двойного маятника (рис. 12.7) с вязкоупругими шарнирами в точках 0 ж 1. Массу системы будем считать сосредоточенной в точках 1 и 2. В точке 2 на систему действует «следящая» сила Р, направление которой совпадает с осью стержня 1—2 при любых отклонениях системы. Обозначим: Ъ и с—коэффициенты
вязкости и HtOCTKOCTii шарниров, т\ — 2т и тч = т — массы, сосредоточенные в точках 1 и 2,
I — длина каждого из стержней, фі И ф2 углы отклонения стержней от положения равновесия, принимаемые за обобщенные координаты. Силы тяжести для упрощения задачи учитывать но будем.
Рис. 12.7
§ 13. СТАДИОН VPHbIE РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 203
В данном случае условия Рауса— Гурвнца (12.12) приводят к следующим неравенствам:
1)Ь>0; 2 )Р<Ц-1 + ±Аз;
^>о.
Первое и четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье. Оно позволяет найти критическое значение силы
P _ 41 с , 1 Ь
yKv ~ 28 I + 2 ыз
и если b = 0, то Рщ, = 1,464 c/Z.
В заключение отметим, что если бы в данной задаче с самого начала положить 6 = 0 п определять критическую силу подобно тому, как это было сделано в п. 3 (из анализа биквадратного уравнения), то для критической силы получится иное (неверное) значение
Plip = 2,086 -f.
Это несоответствие составляет содержание так называемого парадокса Циглера, на обсуждение которого мы здесь останавливаться не будем.
§ 13. Стационарные режимы и предельные циклы
1. Общие понятия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались линеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движений, но — в случаях неустойчивости — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений.
Исследование движения «в большом» в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми ири малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на развитие процесса с возрастанием вре-
§ 13. СТАДИОН \рньіе режимы и предельные ЦИКЛЫ 203
В данном случае условия Рауса— Гурвица (12.12) приводят к следующим неравенствам:
1)Ь>0; 2)Р<4|^ + 4Л,;
4^ 4>с2>°-
Первое її четвертое неравенства выполняются автоматически, а из двух остальных неравенств более жестким является третье. Оно позволяет найти критическое значение силы
P_____41 с 1 &
- 28 I + 2 mZ8
и если Ь — 0, то Рщ, — 1,464 ell.
В заключение отметим, что если бы в данной задаче с самого начала положить & = 0 и определять критическую силу подобно тому, как это было сделано в и, 3 (из анализа биквадратного уравнения), то для критической силы получится иное (неверное) значение
Ркр — 2,086-^-.
Это несоответствие составляет содержание так называемого парадокса Циглера, на обсуждение которого мы здесь останавливаться не будем.
§ 13. Стационарные режимы и предельные циклы
1. Общие понятия. Для суждения об устойчивости состояний равновесия выше мы пользовались линеаризованными уравнениями, описывающими малые движения в окрестности этих состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенных движений, HO — в случаях неустойчивости — не позволяет проследить дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений.
Исследование движения «в большом» в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми ири малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на развитие процесса с возрастанием вре-
