Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
204 гл IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
мени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому стационарному режиму — режиму автоколебаний. В общих чертах природу этого явления можно понять с помощью качественных соображений, не прибегая к количественному исследованию.
Рассмотрим, например, колебательную систему с трением, когда характеристика трения описывается нелинейной функцией скорости R(q)= ~b{q + b3q?' (рис.
13.1, а). Дифференциальное уравнение движения (у р а в-Ii е и и е Рэлея) имеет вид
aq — b\q + b3q3 + cq = 0
(13.1)
(a >0, bi > 0, b3>0, с > 0).
При малых отклонениях от состояния равновесия основное значение имеет лнней-ньііі член силы трения, который в данном случае оказывает дестабилизирующее действие; из-за этого состояние равновесия неустойчиво, и сколь угодно малые начальные возмущения вызовут постепенно возрастающие колебания (об этом см. Jibiuie н связи с уравнением (12.3)). Ho при этом будет увеличиваться д е м п ф н-рующее влияние кубического члена, так что рост колебаний станет замедляться н движение будет стремиться к режиму автоколебаний, характеризуемому постоянным значением амплитуды; в целом движение будет развиваться так, как это показано на рис. 13.1, б.
При достаточно больших начальных возмущениях рассматриваемой системы демпфирующее действие кубического члена вначале окажется значительнее, чем дестабилизирующее действие линейного члена, т. е. колебания
6
§ 13. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 205
в начале процесса будут затухать. Однако с уменьшением колебаний относительное влияние кубического члена будет также убывать, т. е. движение станет стремиться к тому же стационарному режиму, которых! характеризуется біалансом противоположных влияний (рис. 13.1, в).
Эти два случая движения удобно иллюстрировать на фазовой плоскости (рис. 13.2, а). Кривая I соответствует движению, возникающему после малых начальных возмущений, кривая II — движению, начинающемуся после значительных возмущений; обе эти кривые описывают переходный процесс. Замкнутая кривая А, к которой неограниченно приближаются кривые типа I и II, описывает стационарный режим автоколебаний и является устойчивым предельным циклом. Вообще устойчивыми предельными циклами называются изолированные замкнутые фазовые траектории, к которым неограниченно приближаются все расположенные в их окрестности другие фа-зоные траектории.
Сопоставляя демпфирующие и дестабилизирующие влияния, мы, в сущности, имели в виду постепенное изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Дестабилизирующие слагаемые совершают положительную работу и увеличивают энергию системы, а демпфирующие слагаемые совершают отрицательную работу, т. е. уменьшают энергию системы. На рис. 13.2, б схематически показаны вклады обоих слагаемых, рассчитанные за один период: E+ — приращение энергии, вызываемое действием линейного слагаемого силы трения, E- — абсолютное значение изменения энергии, вызываемого действием кубического слагаемого силы трения. Как видно,эти вклады, и притом в неодинаковой мере, зависят от аглпріИ-туды колебаний. При малых амплитудах имеет место неPfi-
Рис. 13.2
206 ГJT IV УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ равновесия
венство Е+ > E-, т. е. происходит приток энергии в систему и амплитуды возрастают, пока не будет достигнут стационарный режим, характеризуемый амплитудой Acr. Если вследствие больших начальных возмущений колебания начинаются с амплитудами, большими чем Аст, то разность Е+ — E- отрицательная и колебания убывают, стремясь к тому же стационарному режиму. Возможные тенденции движения показаны стрелками под осью абсцисс.
Такими же свойствами обладает и система, описываемая дифференциальным уравнением Ван дер Поля
q — |i(l — q2)q + q = 0 (13.2)
(fx—постоянная). Положим, что после некоторого малого начального возмущения начинаются колебания с малыми амплитудами. Пока колебания малы и выполняется неравенство д2 < 1, второе слагаемое уравнения (13.2) оказывает, по-видимому, дестабилизирующее действие, и колебания будут возрастать. Ho с их увеличением указанное неравенство станет нарушаться и коэффициент
при q будет положительным в тех интервалах: времени, в которых q2 > I. В этих интервалах времени второе слагаемое левой части (13.2) будет оказывать демпфирующее влияние. При дальнейшем возрастании колебаний демпфирующее действие будет увеличиваться и движение системы станет приближаться к стационарному режиму, которому соответствует взаимная компенсация дестабилизирующего и демпфирующего влияний. В целом процесс установления будет протекать соответственно рис. 13.1, б и в, а также рис. 13.2, а и б.
Подобные случаи, когда возрастание колебаний происходит после сколь угодно малых начальных возмущений состояния равновесия, называются случаями мягкого самовозбуждения.
Наряду с этим существуют системы с противоположными свойствами. Такова, например, система, описываемая дифференциальным уравнением
