Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ный пример (задача Циглера). —*-
2. Системы с одной степенью *
свободы. __^
а) Задача о дивергенции. —
Рассмотрим жесткую тонкую --
пластинку, упруго опертую ~
вдоль левого края и шарнир-
A.
но опертую вдоль правого рис ^ 1
края. Пластинка находится в
потоке газа (жидкости), скорость v которого направлена вдоль срединной плоскости пластинки в невозмущенном состоянии равновесия (рис. 12.1). В этом положении аэродинамические силы равны нулю (если пренебречь весьма малой силой трения потока о поверхность пластинки) и пластинка находится в равновесии под действием силы тяжести и реакций опор. Найти критическую скорость потока.
При отклонении пластинки возникают аэродинамические давления, зависящие от угла отклонения ф. Соответствующие количественные закономерности устанавливаются в аэрогидродинамике: мы приведем их в готовом виде. Равнодействующую давлений можно разложить на составляющие (лобовое сопротивление и подъемную силу)
Х = АхРЛф, Y=kv^ly, (12.1)
здесь кх, ку—постоянные аэродинамические коэффициен-
190
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
ты, р — плотность газа, I — размер пластинки вдоль потока (перпендикулярный плоскости рисунка размер принят равным единице). Точка приложения равнодействующей аэродинамических давлений находится на расстоянии b от оси шарнира, которое приближенно будем считать не зависящим от угла ф. Момент сил, возникающих при отклонении пластинки относительно оси шарнира, равен
л/ = -с0г2Ф + Хбф + Yb,
где Co — коэффициент жесткости упругой опоры. Подставляя сюда (12.1), получаем
2 2 M = — с0г2ф + кх^- blq>2 + куЦ- Ы<р.
Обозначим через / момент инерции пластинки относительно оси шарнира; тогда дифференциальным уравнением двюкения будет
/ф + ^c0I -куЦ-bj Up = 0
(слагаемое, определяющее момент силы X, опущено как имеющее второй порядок малости).
Условие устойчивости имеет вид
c0l-kx^b> 0, а критическое значение скорости равно
=\/ тфь' (12-?
отсюда, в частности, можно видеть, что с увеличением коэффициента жесткости упругой опоры критическая скорость увеличивается. Задачи этого типа относятся к теории аэрогидроупругости-, рассмотренное явление потери устойчивости называется дивергенцией, а выражение (12.2) определяет скорость дивергенции. В приведенном решении явление существенно схематизировано.
б) «Отрицательное трение». Всюду выше, где учитывалось наличие зависящих от скоростей сил, мы считали эти силы диссипативными; будучи направленными противоположно соответствующим скоростям, они способствуют демпфированию колебаний. Однако в некоторых механических системах развиваются силы, также завися-
§ 12. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 191
щие от скоростей, но совпадающие с ними по на-
правлению. Такие силы оказывают дестабилизирующее действие и способствуют раскачке колебаний, а не их демпфированию; иногда силы этого типа называют силами «отрицательного трения».
Прежде всего остановимся на формальной стороне вопроса и положим, что кроме восстанавливающих сил действуют силы, линейно зависящие от скорости и совпадающие с ней по направлению. Тогда вместо (2.6) имеем дифференциальное уравнение
aq — bq + cq = 0 (12.3)
(b > 0). При прежних обозначениях
A = A, - = k\ --A2==A2
2а а а *
решение дифференциального уравнения (12.3) запишется, подобно (2.9), в форме
q = вМ sin k*f + q°cos к*Ь j ’ где постоянные интегрирования выражены через начальные возмущения. Отсюда видно, что при сколь угодно малых начальных везмущениях qo и qo возникнут колебания, амплитуды которых будут возрастать по показательному закону (рис. 12.2, а), т. е. состояние равновесия системы неустойчиво. На рис. 12.2, б показана фазовая диаграмма; в этом случае состоянию равновесия соответствует особая точка типа неустойчивый фокус. При весьма большом трении (большем критического) фазовая диаграмма принимает вид, показанный на рис. 12,2, <?; начало координат представляет собой особую точку типа неустойчивый узел.
Примером механической системы, в которой при колебаниях может возникнуть сила отрицательного трения, служит система, показанная на рис. 12.3, а. Она состоит из тела 1, упруго закрепленного на пружинах 2, и барабана 3, который прижат к телу и вращается с постоянной угловой скоростью. Между барабаном п телом действует сила сухого трения R, характеристика которой показана на рис. 12.3, б. В отличие от обычной схематизации, эта характеристика отражает реально наблюдаемое влияние значения скорости скольжения на значение
192 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
силы трения. Отметим, что в первом квадранте характеристика состоит из двух участков: падающего при
О < и < у* и восходящего при V > V
7777777^77^7777777777',
а
Пусть скорость скольжения при покое тела 1 равна Vq; ей соответствует сила трения R0. Из уравнепіщ равновесия
R0 — сх о = О
§ 12. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ) РАВНОВЕСИЯ 193
можно определить укорочение пружин в равновесном состоянии системы:
Рассмотрим теперь движение тела около этого состояния равновесия и обозначим через х дополнительное перемещение тела. При этом скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и выражается разностью
