Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Понятно, что нрн неподвижной опоре обращенный маятник неустойчив; однако, как мы сейчас увидим, колебапия опорпой ¦іочки могут придать устойчивость такому маятнику. Составляя дпфференциачьное уравпепне отпосительпого движения, пеобхо-;шмо учесть перепоспую силу иперции —mij — viA со2 соч ait. Ее момепт составляет —mAa2hf со^ м/, и уравпепне момептов запишется в форме
mglif — тАыЧср cos соt = ml2ф,
186
І'Л. III. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
ф+ (- f
т. е.
Лео2 ^
+ —j— cos at I ф = 0.
Для приведения уравнения к виду (11.2) положим
4 в 2 А
со 2V Є~ I'
2т = со?,
Как видно, в пашем примере оба параметра а и є отрицательные. Знак є вообще роли не играет (об этом уже говорилось выше), и главной особенностью рассматриваемой системы является
у=A cos Oit
Рис. 11.2
Рис. 11.3
отрицательность величины а. Как видно из диаграммы устойчивости на рис. 11.1, устойчивость возможна и при отрицательных значениях а; действительно, каждому значению є отвечает некоторая, довольно узкая область значений а < 0. в пределах которой состояние равновесия устойчиво. Согласно (11.7) эти зпачения лежат в инвервале йрР <; а < д^ев, т- е-
1 2 , I3
— ~2 є <а<1 —є —-g-є
(рис. 11.3). При малых амплитудах колебаний Л, т. е. малых значениях параметра 8, правое неравенство удовлетворяется при любых отрицательных значениях а и практически остается лишь
1 2
одно неравенство а>—-g-є , т. е.
, , 1 2 I a I < -j є .
Подставляя сюда выражения а и є, получим условие устойчивости
в виде ____
Avy > }2gl.
Это неравенство определяет нижний уровень максимальной скорости А со колебаний точки подвеса, который обеспечивает устойчивость опрокинутого маятника; как видно, указанная скорость долж-
§ 11. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО ЗАКОНУ СИНУСА
187
на превышать скорость свободного падения тела с высоты, равной длине маятника.
Пример 11.2. Исследовать устойчивость режимов стационарно движения
q = Ai sin соt (і = I, 2, 3)
и системе с нелинейной восстанавливающей силой F(q) = Pg3.
Дифференциальное уравнение относительно вариации бq было составлено выше (см. (9.11)). Запишем его в виде
бq + (3аА2 sin2 соі) бq = 0,
где коэффициент а равен коэффициенту р, разделенному на инерционный коэффициент системы. Для того чтобы привести уравнение к форме (11.2), нужно положить
COi = т, а = ¦
3 ^A2i 2 со2
3 QAf 4 со2
Таким образом, в данном случае a = 2s и на диаграмме устойчивости всевозможные пары значений а, є лежат на луче, который
1
выходит из начала координат под углом arctg-^- к оси (см. схему на рие. 11.4). Поочередная подстановка значепий Ail A2 и A3 в
выражении а и є приводит к расположению точек, показанному на рис. 11.4, т. е. точки Ax и A2 соответствуют устойчивым, а точка A3 — неустойчивым решениям. Этим подтверждается сказанное в § 7 относительно устойчивости найденных там решений на различных ветвях резонапсной кривой.
Глава IV
УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ И АВТОКОЛЕБАНИЯ
§ 12. Устойчивость состояний равновесия
1. Вступительные замечания. Вопросов устойчивости состояний равновесия мы уже касались в главе I (см. стр. 35—40, 44), но поскольку она была посвящена свободным колебаниям, мы рассматривали только такие системы, в которых отсутствует приток энергии при их движении вблизи положения равновесия.
В настоящем параграфе рассматриваются более сложные случаи, относящиеся к автономным системам, при движении которых возможен приток энергии извне. Эти случаи связаны с конкретными ситуациями, которые несмотря на свой частный характер можно считать достаточно типичными. В каждой из рассмотренных здесь задач выделяется один «ответственный» параметр, от которого зависит устойчивость или неустойчивость соответствующей механической системы, и задача сводится к определению критического значения этого параметра, при котором устойчивость сменяется неустойчивостью. Во всех изучаемых здесь случаях рассматриваются только малые отклонения системы от состояния равновесия, т. е. анализируются линейные задачи,— этого достаточно для того, чтобы судить о тенденциях возмущенного двп-жения и тем самым сделать заключение об устойчивости (пли неустойчивости) «в малом».
Сначала, в п. 2, на двух примерах обсуждаются вопросы устойчивости систем с одной степенью свободы, связанные с аэроупругой неусточивостью типа дивергенции и действием сил «отрицательного» трения. Эти примеры позволяют выявить особые точки фазовой плос-
§ 12. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
189
кости двух ранее не упоминавшихся типов — неустойчивый узел и неустойчивый фокус.
В п. 3 рассматривается устойчивость систем с двумя степенями свободы без трения. Первый случай относится к аэроупругой неустойчивости типа флаттер, а второй случай — к устойчивости вращающегося вала с эксцентрично насаженным диском. В этих случаях задача сводится к анализу знаков вещественных частей корней биквадратного характеристического уравнения и поэтому относительно проста.
Несколько сложнее решается вопрос об устойчивости систем с двумя степенями свободы при наличии трения, который приводит к анализу знаков вещественных частей корней полного уравнения четвертой степени. В п. 4 сначала приводится используемый в подобных случаях критерий Рауса — Гурвица, а затем рассматривается конкрет- —
