Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
При нарушении первого неравенства возникает дивергенция (рис. 12.5, а), а ирн нарушении второго неравен-
S 12 УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
197
ства — колебания с возрастающими амплитудами (рис. 12.5, б); такие колебания называются флаттером.
Границам области устойчивости соответствуют знаки равенств в (12.9). Если подставить в (12.9) выражения с,„ то можно найти два критических значения скорости, которая служит параметром, определяющим устойчивость:
скорость дивергенции
VM = 1 / --------U--------
V PMMft-2) + 6**]
п скорость флаттера = 2
V Зрку C1 - C2
Отметим, что при малых жесткостях правой опоры, когда с.2<с,^—lj, критическая скорость i4p оказывается мнимой, т. е. дивергенция невозможна. Если, напротив, жесткость левой опоры меньше жесткости правой опоры, то мнимым становится выражение критической скорости Укр, т. е. невозможен флаттер.
Флаттер представляет реальную опасность для многих конструкций, находящихся в потоке жидкости или газа (крыло или хвостовое оперение самолета, обшивка летательного аппарата, лопатка турбины и т. п.).
б) Устойчивость вращающегося вала. Рассмотрим систему, состоящую из вертикального упругого безынерционного вала 1, с серединой которого жестко связан эксцентрично насаженный диск 2, обладающий горизонтальной плоскостью симметрии. Вал с диском вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (рис. 12.6, а).
Введем координатную систему xyz, равномерпо вращающуюся вокруг оси недеформированного вала с угловой скоростью со. Ось х совместим с осью недеформированного вала, ось у направим параллельно эксцентриситету е = AC (А — центр сечения вала, С—центр тяжести диска), а ось z— перпендикулярно осям х и у\ орты осей у и z обозначим через і и j соответственно,— CM. рис. 12.6, б. При таком выборе подвижной координатной
108
Г.тт IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
системы относительное движение диска, обусловленное изгибом вала, окажется поступательным.
Исследуем это относительное движение, обозначив: г — радиус-вектор центра тяжести диска С, х, у, z — декартовы координаты точки С в подвижной координатной системе, р — радиус-вектор точки крепления А диска к валу (при этом р + е = г), с—коэффициент жесткости
вала (для изображенной схемы с = 48EJ/P, где EJ — из-гибная жесткость сечения вала, I—его длина).
При составлении дифференциальных уравнений относительного движения центра диска С нужно учесть силу упругости вала —ср, переносную силу инерции —mwe и кориолисову силу инерции -mwc, Сила упругости приложена в точке А, а обе силы инерции — в точке С.
Силу упругости можно записать в виде
— ср = —сг + се = —с [ (у — е) j + zk].
Переносная сила инерции равна
Для кориолисовой силы инерции последовательно получим:
х
Рис. 12.6
— mwe = IrKa2V = miо2 (у j + zk).
—ToWc = 2т (vr X wf) = 2т [ (г/j + zk) X toi] ==
= 2ma (zj — z/k).
§ 12. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ
199
Проекции этих сил на оси подвижной координатной системы даны в следующей таблице:
Силы Проекции сил
на ось у на ось z
Сила упругости Переносная сила инерции Кориолисова сила инерции —с (У — е) тиРу 2mcoz —CZ TTlCO2Z ¦—2тшу
Соответственно данным таблицы дифференциальные уравнения относительного движения центра диска С имеют вид
ту = —с (у — е)+ та2у + Imaz, mz = —cz + ma2z — 2mmj.
Подставив сюда к2 = с/m (к ¦— собственная частота поперечных колебаний невращаюіцейся системы), получим при (о ?= к
ij — 2az + (к2 — (о2) у = к2е, (12 10)
z + 2(о у + (к2 — (o2)z = 0.
Эта неоднородная система уравнений допускает решение
Є Г\
У* = Ї----2772 ’ z* = емУ соответствует неизменный во
1 — со /к
времени изгиб вала во вращающейся плоскости ху. Для того чтобы исследовать устойчивость этого режима, предположим, что он каким-либо образом был нарушен и возникло возмущенное движение, описываемое функциями.
У — У* ~Ь Z = Z,
где Y(t) и Z(t)—малые отклонения от режима, устойчивость которого исследуется. Подставив у, z в (12.10), получим систему уравнений, которая при учете выражений у% и z* приводится к однородному виду
У — 2(о2 + (к2 — (O2)Y = 0,
Z+ IaY+ (к2 - (O2)Z = 0.
Полагая, как п выше
Y = Areu, Z = A2Bu,
200 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
получаем однородную относительно Ai и A2 систему уравнений:
A1X2-2(оA2X + (*2 - (D2)^1 = 0,
A2X2 + 2(оA1X+(к2 - а2)А2 = 0.
Она имеет отличные от нуля корни только в том случае, когда равен нулю определитель
/с2 — ш2 + Я2 — 2шЯ
2шЛ — со" 4 Я"
= 0;
в результате получим характеристическое уравнение (к2 — (о2 + X2)2 + (2(о X)2 = 0.
При к Ф (о все корни характеристического уравнения мннмые':
A-1,2,3,4 = ± (к ± (о) {.
Это означает, что при кФ(о система устойчива: после любого начального возмущения она будет совершать гармонические колебания с частотами к + (о и к—(о (нужно отметить, что эти частоты отличаются от собственной частоты колебаний невращающейся системы). Лишь в особом случае, когда (о = к, возникает нулевой (двойной) корень, которому соответствует неустойчивость системы. Впрочем, С приближением угловой скорости CO к значению к само значение у* неограниченно возрастает. Угловую скорость (о = к называют критической скоростью; некоторый диапазон значений угловой скорости, близких к критическому значению, в эксплуатационных условиях «запрещается». Важно, что при (о > к система вновь устойчива!
