Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
165
равновесия,— имеем
У\ — —— т2!І2$ 12 — ^з^збіз + H bin СО^біг,
2/г = —т\У\^2\ — т2У2§22 — ^з2/збгз “h H С0622, г/з = —Wlj/1631 — ^2//2632 — ^ЗЇ/3633 + H Sm CO?632,
где бгj — коэффициенты влияния (единичные перемещения); не
задерживаясь на их вычислении, приведем сразу окончательные значения:
__75 __ __ __ _ И7_
^ll — °33 ~~ P ’ °12 — ®21 ®23 ^32 P '
б22='
243
и13
-S
-0SI- P ’
где р = 9 • 1296EJjlz. С учетом отих значений, а также равенств Tn1 = т2 = тге3 = т дифференциальные уравнения приобретают вид
Ibmijl + 117mjf2 + 51mij3 + Pjz1 = 117« sin со?, iihniji + 243mj/2 + Inmij3 + $у2 = 243/7 sin cof,
Simijl -f- Illmij2 + Ibmij3 + Pj/3 = 117#sin соt,
Теперь можно составить уравнения (8.11) для определения амплитуд колебаний:
(Р — 1Ътш2)А\ — 117 ттгсо2уІ2— 51mcoM3 = 117Я,
—117тсо2Л, + (р — 243то>2)Л2- 117тсоМ3 = 243Я,
—Slmco2^1 — 117ты"2A3 + (Р ~ 75тсо2)Л3 = 117Я; отсюда находим
Я 117
P
А1 Аз
А2 —
1
243-
- 369а -3240а
3240а
Н_
P 1 — 369а + 3240а2
где а = тгесо2/р. Как видно, амплитуды колебаний зависят от характерного параметра а, меняющегося с изменением частоты возбуж-
166
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
дения. При Cti = 0,00278 и а2 = 0,11111 знаменатели найденных выражений обращаются в нуль, т. е. амплитуды колебаний становятся неограниченными (резонансные состояния, когда частота возбуждения совпадает с какой- либо собственной частотой рассматри-
т
Ж
1/6
1/5
Hsin tat т Ц
і.Zz лі/F77
а = 0
а -0,001
а =0,0025!
243 117
ваемой системы). На рис. 8.3, б — з показаны формы изогнутой оси балки при /7/р = 1 и нескольких значениях параметра а (так как при изменении а зпачения A1 и A2 изменяются на несколько
§ 8. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
167
порядков, кривые построены в различных масштабах). Кривая па рис. б построена для а = 0 (статическое нагружение). По форме от пее мало отличается кривая на рис. в, относящаяся к сравнительно небольшому значению параметра а. Кривая на рис. г построена для околорезопансных условии и близка к первой собственной форме. Кривая на рис. д относится к «межрезопансным» условиям ai < 0,005 < а2; здесь нужно отметить, что перемещения находятся в противофазе с вынуждающей силой (подобно зарезонансным режимам систем с одной степенью свободы). Кривая на рис. е соответствует антирезонансу (при а = 0,075 значение A2 обращается в нуль). На рис. ж показана кривая для частоты, немного меньшей, чем вторая собственная частота, а кривая па рис. з — для частоты, несколько превосходящей вторую собственную частоту. Можно показать, что при дальнейшем возрастании параметра а изогнутая ось в принципе будет такой, как па рис. з.
3. Действие произвольных вынуждающих сил; разложение по собственным формам. В случаях, когда вынуждающие силы изменяются не по гармоническому закону, целесообразен переход к нормальным (главным) координатам. При этом вместо системы дифференциальных уравнений (8.2) или систем (8.3) и (8.4) получается система независимых дифференциальных уравнений
Tl i+kbv = Q* (/ = 1,2,...,5), (8.18)
в которой r]j — нормальные координаты, к, — собственные частоты, Qj — приведенные обобщенные силы. После того как образована система (8.18), дальнейшее решение сводится к исследованию колебаний ряда независимых
систем с одной степенью свободы (см. п. 4 § 5).
Пусть обобщенные координаты первопачально приняты таким образом, что исходная система дифференциальных уравнений записывается в виде (8.3). Для требуемого перехода к системе (8.18) пужпо предварительно найти собственные частоты Ai п коэффициенты собственных форм Xr;. Далее положим
S
Qr — (8.19)
Тогда (8.3) запишется в впде-
s .. s s dj s И/іЛі + 2 сзг S ИиЦІ = Qj- (8.20)
г=1 r= і i~l
Изменим порядок суммирования во втором слагаемом:
5 5 SS
2 Cjr 2 ^ri'Пі = S S CjrKrIj
г=I i=l г—1 г= і
168 ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
и заметим, что входящая сюда сумма по г согласно (4.46) равна
S
CjrWpi — CLjkjtWjit
г—1
Теперь уравнения (8.20) принимают вид
s
aJ S Xji (*Н + *Ь) = Qj- (8.21)
1-і
Умножим каждое из этих равенств на Xim и затем сложим их:
S S S
KjmClj Kji (^l ~Ь ]i) — QjKjmi j=l . i=l j=l
ИЛИ
s s s
21 (^1? ^іЦі) 2 CljXjiXjm = 21 (8.22)
і= I j=l j=l
Согласно свойству ортогональности собственных функций (4.65) равны нулю все входящие в левую часть суммы по 7, кроме той, в которой индекс і совпадает с индексом т. Поэтому (8.22) можно записать в виде
S S
(^lm ктЦт) 21 ^jKjm ” 2 Qj^jm*
2=1 3=1
Окончательно получаем дифференциальные уравнения в нормальных координатах
Пт + ктЦт = Qm (т = 1,2, . ... s), (8.23)
где
2 aJKjm 3=1
(га = 1,2, ...,s) (8.24)
есть приведенные вынуждающие силы.
Если обобщенные координаты былп выбраны так, что исходные дифференциальные уравнения записываются в виде (8.4), то аналогично можно прийти к (8.23),
§ 8. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 169
