Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
aq + biq — 63g3 + cq = 0 (13.3)
(а > 0, 61 > 0, Ьз > 0, с>0). Здесь знаки слагаемых силы трения противоположны знакам в уравнении (13.1). Поэтому если начальные возмущения малы, то колебания будут затухать (начало координат является устойчивым фокусом), но если начальные возмущения достаточ-
§ 11 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 207
но велики, то амплитуды колебаний будут неограниченно увеличиваться. В этом случае фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис. 13.3, а. Здесь также существует предельных! цикл А, однако он неустойчив, так как все окрестные фазовые траектории удаляются от
него — либо внутрь, к началу координат, либо вовне (в зависимости от расположения начальной изображающей точки). Эти траектории на рис. 13.3, а обозначены цифрами / и II. Вообще неустойчивыми предельными циклами называются такие изолированные замкнутые фазовые траектории, от которых удаляются все расположенные в их окрестности другие фазовые траектории.
Кривые, характеризующие приток энергии Е+ и энергетические потери Z?-, показаны на рис. 13.3, б; здесь же стрелками показаны тенденции движения при различных амплитудах колебаний. Такая система может служить примером системы с жестким самовозбуждением, поскольку возрастающие колебания возникают лишь после Достаточно больших начальных возмущений.
208 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ равновесия
В более сложных случаях возможно существование нескольких предельных циклов. Так, для системы, оди-сынаемой дифференциальным уравнением
aq—biq + bsq?'—b5q5 + cq = 0 (13.4)
(а> 0, 6і>0, і>з > 0, i>5 > 0, с>0), фазовая диаграмма имеет вид, показанный на рис. 13.4, а, а энергетические кривые даны на рис. 13.4, б.
Во всех рассмотренных случаях можно заметить ч е-редование устойчивых и неустойчивых стационарных состояний: на рис. 13.2, а неустойчивая особая точка окружена устойчивым предельным циклом, на рис. 13.3, а устойчивая особая точка окружена неустойчивым ире-дельпым циклом, на рис. 13.4, а неустойчивая особая точка окружена устойчивым циклом А\, который в свою очередь располагается внутри неустойчивого предельного цикла A2 (для последнего случая на рис. 13.4, б показаны энергетические кривые). Можно сказать, что устойчивые состояния равновесия и устойчивые предельные циклы притягивают к себе лежащие в их окрестностях фазовые траектории и по этому существенному признаку называются аттракторами (от английского глагола to attract—притягивать). Ниже, в § 16 будет рассмотрен аттрактор иного рода со столь удивительными свойствами, что его называют странным аттрактором.
Каждому аттрактору на фазовой плоскости соответствует определенная область притяжения, причем границами между этими областями служат неустойчивые предельные циклы (иногда такие циклы, а также неустойчивые состояния равновесия называют репеллерами — от английского глагола to repel—отталкивать). Эта картина подобна тому, как на земной поверхности границы между бассейнами рек проходят по линиям водораздела.
При простой структуре фазовой диаграммы, когда существует единственный аттрактор — устойчивое состоя-пие равновесия как на рис. 2.3, или устойчивый предель-пый цикл как на рис. 13.3 — его областью притяжения служит вся фазовая плоскость. В более сложных случаях стремление возмущенного движения к тому или иному аттрактору зависит от того, в какой из областей притяжения оказалась изображающая точка при начальном возмущении. Так, для системы с двумя предельными циклами (рис. 13.4) часть фазовой плоскости, расположенная внутри пеустойчивого предельного цикла A2, яв-
§ 13. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 209
ляется областью притяжения к аттрактору A1, а часть фазовой плоскости, расположенную вне предельного цикла А2, можно считать областью притяжения к бесконечности.
Изложенные представления отпосятся к автономным системам с одной степенью свободы, но могут быть распространены па более сложные системы путем перехода от фазовой плоскости к фазовому пространству более высокой размерности. В частности, для неавтономных систем с одной степенью свободы пользуются представлением о трехмерном фазовом пространстве, причем коор-дипатами изображающей точки служат величины q, q и t. Фазовое пространство для автономной системы с двумя степенями свободы оказывается четырехмерным и т. д. Конечно, в этих и еще более сложных случаях представления о фазовых диаграммах лишаются простоты и наглядности, которыми обладают эти диаграммы на фазовой плоскости.
Дальнейшее содержание настоящего параграфа посвящено способам определения стационарных режимов; анализ устойчивости (неустойчивости) таких режимов, т. е. выделение аттракторов и репеллеров, рассматривается в следующем параграфе.
2. Способ поэтапного интегрирования для кусочнолинейных систем. Как мы видели выше, в нелинейных системах с кусочно-линейными характеристиками удобно разделить весь процесс движения на последовательность интервалов, в каждом из которых дифференциальное уравнение линейно и легко решается в замкнутом виде. Тогда задача сводится к последовательному решению нескольких дифференциальных уравнений и припасов ыванию найденных решений путем согласования значений координаты и скорости на границах интервалов.
