Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
причем
S
(8.25)
j=i
Таким образом, составлению уравнеппй (8.21) должно предшествовать определение собственных форм, т. е. коэффициентов Xjm, и собственных частот кт\ затем образуются выражения (8.24) или (8.25), и задача сводится к интегрированию независимых уравнений (8.23), каждое из которых описывает движение некоторой системы с одной степенью свободы. После интегрирования этих уравнений можно получить выражения для первоначально выбранных обобщенных координат qr с помощью соотношений (8.19).
Пример 8.3. На левый груз рассмотренной ранее системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует вынуждающая сила
(Hi и а — заданные постоянные). Найти движение системы.
Для отой системы при Ci = C2 = с, ri\ = т2 = т в § 4 было пайдено
По формуле (8.24) находим приведенные вынуждающие силы:
е, = я, (1-е-»')
*21 = 1,618,
т -)- m. 1,6182
Q-
Теперь образуем оба уравнения (8.23):
170
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Решение этих уравнений на.\одим с помощью выражения (5.19):
V
0,278/Zj
0,222H1
(sinV+ Prc-V)
I+Pl
-at
-рї (Sini3H P2 cos у)
Здесь Pi = a/ki, fh = а/*2- Наконец, согласно (8.19) находим
Н1
Х1 = \+% = —
0,278 0,722
1 + Р? 1 + 1
-at.
0,278 0,722Ра
T^pF (sin V + Pi cos *i‘) - 1 + р|" (sm V + P2 cos ?)
II
Х2 = ^itIi "I' *22% = —
, 0,449 0,137 \
0,312 - I —L—^r — I e~at —
I + PJ I
0,449 „ 0,137 , ,
y-j-pj (sin kjt + P1 cos V) + —p| (sm Лаі -г P2 cos y)
4. Действие периодических вынуждающих сил. В случаях, когда действующие на систему вынуждающие силы изменяются по периодическому закону, возможны два пути решения задачи — в сущности те же, что и для систем с одной степенью свободы.
Первый путь основан на разложении периодических вынуждающих сил в ряды Фурье; после такого разложения определяются гармонические движения, вызываемые отдельными гармониками сил (см. выше п. 2 настоящего параграфа), и найденные результаты надлежащим образом складываются.
Второй путь основан на предварительном переходе к нормальным координатам, как это было изложено в п. 3 этого параграфа. Это приводит к ряду задач о колебаниях систем с одной степенью свободы и позволяет получить решения в замкнутой форме, как это было изложено в § 5, п. 5.
Хотя в расчетной практике чаще идут по первому пути (например, при исследовании крутильных колебаний валов двигателей внутреннего сгорания), однако иногда предпочтительнее может оказаться второй путь, особенно в тех случаях, когда тригонометрические ряды, в которые разложены вынуждающие силы, медленно сходятся.
Глава III
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 9. Общие понятия
1. Основное дифференциальное уравнение. В рассмотренных выше задачах о колебаниях действующие силы можно было отнести к одной из трех категорий: позиционные (в частности, восстанавливающие) силы, зависящие только от обобщенных координат q}\ диссипативные
силы, определяемые обобщенными скоростями д/, вынуждающие силы, являющиеся заданными функциями времени t.
Однако существуют силы более сложной природы, в частности нестационарные позиционные силы, которые зависят от координат q„ а также от времени t (в явном виде):
Qj = QM1, ?2, • • •, Sf., і) (І = 1, 2, .. ., s), (9.1)
и притом так, что их невозможно представить в виде суммы двух слагаемых, одно из которых зависит только от координат, а другое — только от времени.
Ограничимся рассмотрением линейных систем с одной степенью свободы, когда при малых отклонениях от положения равновесия обобщенная сила определяется выражением
Q = -cq, (9.2)
прпчем, в отличие от случаев действия стационарных восстанавливающих сил, параметр c = c(t) является функцией времени.
Дифференциальное уравнение движения
aq + с (t) q = 0 (9.3)
содержит переменный коэффициент и описывает параметрические колебания.
172
ГЛ. III. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
Как мы увидим ниже, свойства движения, описываемого уравнением (9.3), существенно отличаются от свойств свободных колебаний, определяемых дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Важное значение имеют нередко встречающиеся в приложениях случаи периодического изменения параметра, когда
с(і + Г) = с(і). (9.4)
Соответствующие этим случаям колебания называются параметрически возбуждаемыми или, короче, параметрическими. Решением дифференциального уравнения (9.3) при условии (9.4) мы займемся ниже, но уже здесь отметим, что амплитуды параметрических колебаний — в зависимости от значений постоянных системы — либо
остаются ограниченными, либо возрастают во времени. Очевидную опас-jO ность представляют колебания с возрастающими амплитудами; это явление называют параметриче-Рис- ским резонансом. По неко-
торым признакам, о которых будет сказано ниже, параметрический резонанс существенно отличается от «обычного» резонанса и в определенном смысле опаснее последнего.
2. Параметрические колебания около положения равновесия. Прежде чем обратиться к решению дифференциального уравнения (9.3) и исследованию возможности параметрического резонанса, рассмотрим некоторые простые механические системы, колебания которых являются параметрическими; в этих случаях часто параметрическими называют и сами системы.
