Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
I^l2= 7----------А--------2-
(с — до) ) + (Ьо))
(6.67)
148
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
После вычисления S5(ю) по выражению (6.66) можно найти дисперсию обобщенной координаты
OO
Dq = ^Sq (a) da, (6.68)
О
и, наконец, среднеквадратическое значение величины q:
Oq = IDq. (6.69)
§ 7. Системы с одной степенью свободы
при нелинейной восстанавливающей силе
1. Основные понятия. Нелинейность восстанавливающей силы существенно осложняет аналнз колебаний,
и в этом параграфе будет рассмотрено действие только гармонической вынуждающей силы; даже в этом наиболее простом случае приходится довольствоваться приближенным решением задачи. Характеристику нелинейной восстанавливающей силы будем считать симметричной:
F(q)=-F(-q), (7.1)
а силы трения — отсутствующими.
При синусоидальном возбуждении дифференциальное уравнение движения имеет вид
aq + F(g) = Я sin at. (7.2)
Необходимо сразу отметить, что функция
g = A sin at, (7.3)
описывающая закон движения линейных систем, в данном случае не является точным решением задачи; если подставить (7.3) в уравнение (7.2), то оно не может быть тождественно удовлетворено ни при каком значении А. Естественно ожидать, что решение будет содержать также высшие гармоники с частотами 2(0, За, ..., а возможно, и низшие гармоники с частотами а/2, со/3, ...; ниже мы убедимся, что это в самом деле так. Колебания с высшими по отношению (о частотами называются супергармоническими, колебания с низшими частотами — субгармоническими, а колебания с частотой (о — основными.
В первом приближении можно ограничиться исследованием только основных колебаний: они чаще всего наиболее важны; этому посвящен следующий п. 2. Даль-
§ 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА
149
неишие уточнения можно получить, исследуя супергар-монические колебания (см. п. 3) и субгармонические колебания (см. п. 4).
2. Основные колебания. Для нахождения основных колебаний приближенно примем закон движения в виде
(7.3) и воспользуемся методом гармонического баланса (см. выше стр. 69—70). Образуем периодическую функцию F(^sinfflf) и, разложив ее в ряд Фурье, ограничимся учетом одного первого члена:
F (A sin (of) « Ъ\sin (of. (7.4)
Здесь Ь\ определяется выражением (3.18). Подставив выражение (7.3) в первый член уравнения (7.2) и выражение (7.4)—во второй член того Hte уравнения, получим приближенное соотношение
2Я
— а Acо2 -f- ~ J F (A sin 1|)) sin t); dty = Н, (7.5)
о
из которого можно определить амплитуду А.
Пусть, например, характеристика восстанавливающей силы имеет вид
F (q) = Cog + Pg3. (7.6)
Прежде всего находим
2Я
[ F (A sin i|5) sin чр = о
2 Jt
= J (C0A sin i|5 + j3A3 sin3 ф) sin ip dty = яC0A + ^ я|ЗЛ3. о
При этом уравнение (7.5) принимает форму
4?+НА’)=-?-+(7-7)
Для выявления качественных свойств решения кубического уравнения (7.7) можно воспользоваться графическим способом; по своей наглядности он, пожалуй, преюсходит аналитическое решение.
Построим график зависимости левой части от амплитуды А (см. кривую Pr(A) на рис. 7.1, а), а также прямую Pa(A), соответствующую правой части; если часто-
150
ГЛ. II ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
та со невелика, то прямая Pn пересечет кривую Pn в одной точке, абсцисса которой А\ является единственным вещественным корнем уравнения (7.7). С увеличением частоты со угол наклона прямой к оси абсцисс будет возрастать, а значение корпя Ai — увеличиваться. Наконец, при достаточно большом значении со = со* прямая Pn коснется кривой Рл в третьем квадранте (рис. 7.1, б),
Рис. 7.1
а при дальнейшем увеличении со будет пересекать кривую Рл в трех точках (рис. 7.1, в).
Соответственно уравнение (7.8) при будет
иметь три вещественных корня: Ai, А2, Аз. Изменение значений этих корней при постепенном увеличении частоты со показано на рис. 7.2, а; здесь же штриховой линией показана скелетная кривая, выражающая связь между частотой и амплитудой свободных колебаний той же системы.
Полученная амплитудно-частотная зависимость напоминает резонансную кривую для линейной системы, однако резонансный пик несколько «деформирован» соответственно искривлению скелетной линии при жесткой характеристике. Для системы с мягкой характеристикой амплитудно-частотная зависимость имеет вид, подобный рис. 7.2, б.
Хотя полученное решение приближенное, однако оно дает, по крайней мере качественно, верное представление
об изменении амплитуды вынужденных колебаний с изменением их частоты: при достаточно больших значениях частоты вынуждающей силы решение становится неоднозначным и одному значению частоты соответствует три значения амплитуды А колебаний.
§ 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 151
Дополнительные исследования (см. ниже § 9) показывают, что из трех возможных режимов движения при со>
q = ^isincoi, q = 42sin a>t, q = Аг sin (oi, (7.8)
устойчивы первый и второй, а третий режим неустойчив,— сколь угодно малые возмущения этого режима приводят движение системы к первому или второму режиму. В связи с этим физически осуществимы только первый и второй стационарные режимы.
