Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
x(0)=-Rx(T-0). (7.30)
Решение основного дифференциального уравнения, записанного для интервала движения между двумя ударами,
тпх + ex = H sin(0f + ч)>
имеет вид
х = C1 sin kt + C2 cos kt + Н sin^tof ^ . (7.31)
m(k — со )
Отсюда следует, что скорость меняется по закону
х = C-Ji cos kt — CJi sin kt + с.°^ tr—-. (7.32)
m (к — со )
§ 7. НЕЛИНЕЙНАЯ ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ СИЛА 159
Из условий (7.27), (7.28) и (7.30) находим
C2+ ^sinV _ А
т (к2 — са2)
H sin (соТ + у)
C1 sin кТ + C2 cos кТ + С,к +
і {к2-со2) На cos у
m (к2 — Ca2)
= -R \сгк cos к T -C2^sinfcr + Яа> с”(а>-¦+ Y) 1.
L m(k2- ca2) J
В этих трех уравнениях содержатся три неизвестные величины: постоянные Ci и Сг, а также начальная фаза f вынуждающей силы. Пусть, например, Ъ = 0; тогда, учитывая, что sin^r + ч) = sin ч, cos(0jT + 4)= cos 7, после
решения уравнений найдем
„___ (I -f- R) . кТ а>
g Y — (I — R) g 2 k'
r _ H sin у ^ кТ
I /,2 24®?*
m (к — or) *
C2 = -
H sin Y m (к2 — ca2)
Теперь можно записать закон движения, справедливый для интервала времени О <t< T (на других интервалах времени движение полностью повторяется):
H г
sin (wt + 7) — sin у cos kt —
x =
m (к2 — ca2)
кТ
— sin у sin kt tg -=-
Конечно, приведенное исследование колебаний вибро-ударной системы недостаточно полно. Во-первых, формальная возможность режима колебаний с периодом T еще не означает его физической осуществимости — для этого необходимо, чтобы такой режим был устойчивым. Во-вторых, в подобных системах наряду с изученным режимом возможны периодические режимы с периодами вдвое, втрое и т. д. большими (субгармоники), и следовало бы также исследовать их существование и устойчивость. Именно так ставятся и решаются задачи о работе различных виброударных механизмов.
160
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 8. Линейные системы с несколькими степенями свободы
1. Общие уравнения. Если на линейную колебательную систему без трения с s степенями свободы действуют внешние силы, являющиеся заданными функциями времени, то уравнения Лагранжа принимают вид
где Qj = Qs (t) — обобщенные вынуждающие силы, соответствующие избранным обобщенным координатам qs. Пользуясь общими выражениями (4.2) для кинетической и потенциальной энергии, приходим согласно (8.1) к следующей системе дифференциальных уравнений:
Если обобщенные координаты выбраны так, что кинетическая энергия представляется канонической формой
(4.6), то Cijk = O при / Ф к, и система уравнений (8.2) упрощается:
К этим уравнениям, каждое из которых содержит по одному обобщенному ускорению, можно прийти с помощью прямого способа, не пользуясь уравнениями Лагранжа.
Если при соответствующем выборе обобщенных координат к канонической форме приводится потенциальная энергия (сл = 0 при ]Фк), то уравнения (8.2) принимают вид
Каждое из уравнений (8.4) содержит по одной обобщенной координате; эти уравнения можно получить непосредственно по обратному способу.
Ниже мы остановимся на некоторых важных типах зависимостей обобщенных вынуждающих сил Qj(t) от времени.
8
2 {O-jhQk ~' t'jh-Jk) — Qj (/ — 1> 2, . .., s). (8-2)
fc=i
+ S Cjkqu = Qj (/ == і, 2,..., s). (8.3)
й=і
a
ft=l
S aSkrIk + Cjqj = Qj (j = I, 2, ..., s). (8.4)
§ 8. СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 161
2, Действие вынуждающих сил, изменяющихся по гармоническому закону; непосредственное решение.
Предположим, что обобщенные вынуждающие силы изменяются по гармоническому закону
Qj = Н* sin (wt + б,-) (/ = 1, 2, ..., s), (8.5)
т. е. имеют одинаковые частоты, но различные амплиту-
ды и фазы. Вместо (8.5) можно записать:
Q* = Н* cos 8jsin cot -J- H* sin 8j cos cot. (8.6)
Далее, можно разделить задачу на две задачи: одна из них относится к случаю действия синусоидальных вынуждающих сил
Qj = Hjsinat (8.7)
(здесь принято обозначение Hj = Н* cos 6j), а вторая — к случаю действия косинусоидальных вынуждающих сил
Q1 = GjCos wt (8.8)
(где Gj = Н* sin 8j). Эти задачи совершенно однотипны, поэтому ограничимся случаем действия синусоидальных сил (8.7). Тогда уравнения (8.2) запишутся так:
S
2 (®А?й = Hjsin cot (/ = I, 2, •s). (8.9)
й=0
Установившееся движение будем разыскивать в виде
Qj = .4,-sinwf (/ = I, 2, ..., s). (8.10)
В этой записи видно, что все обобщенные координаты изменяются с единой частотой, равной частоте вынуждающих сил.
Подставляя (8.10) в дифференциальные уравнения
(8.9), приходим к следующей системе алгебраических уравнений для определения амплитуд колебаний A3:
S
S (сл — ю2ал) Ah = Hj (/ = 1,2,..., s). (8. И)
к=і
К такой же системе можно прийти, если в (8.9) ввести правые части Н}еш и разыскивать решение в виде q3 = = Ajeiat.
H Я. Г. Пановко
162 ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Решение системы уравнений (8.11) имеет вид
Аз = Ъ (7 = 1-2,...,5). (8.12)
Здесь D — определитель, составленный из коэффициентов системы (8.11),
„2
сц- аи“2 Cl < 3 і о ' C1S
D = С21 — a2l“2 С22-а22Ш ' • C2s
