Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
т. е.
XD1 --=¦ e~hT (C2 sin A2 T + D2 cos А*Г),
X (C1A1 - D1 h) = e~/lT [C2 (- A sin A2^ + Aa cos A*f) -
— D2 (A cos A*Г A* sin А*Г)]. (10.16)
Четыре уравнения (10.15) и (10.16) образуют систему, однородную относительно ПОСТОЯННЫХ Cl, Z>1, C2, D2-, отличные от нуля решения соответствуют случаю, когда равен нулю определитель, составленный из коэффициентов системы, развернув который, придем, аналогично
(10.9), к квадратному уравнению
X2-2AiX + Bi =0. (10.17)
В каждом конкретном случае по заданным значениям A0, (л, A, T можно вычислить значения Ai и Bu а затем определить корни Xi и X2 квадратного уравнения (10.17). Признаком неустойчивости служит вещественность кор-
§ 11 ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО ЗАКОНУ СИНУСА
183
ней її неравенство Ш > 1 для наибольшего по модулю корня.
He останавливаясь на подобном исследовании корней, заметим, что для их вещественности (т. е. для неустойчивости системы) необходимо выполнение условия
\Ау\>Ш, (10.18)
более жесткого, чем условие \А I >1, полученное выше для случая отсутствия трения. В частности, при h > 0 и р, 0 условие (10.18) яе выполняется, т. е. параметрический резонанс невозможен. Это означает, что для возникновения параметрического резонанса необходима некоторая, достаточно большая, глубина пульсации ц,. В целом тренне оказывает стабилизирующее действие и приводит к некоторому сужению областей неустойчивости.
§ 11. Параметрическое возбуждение
по закону синуса
1. Общие сведения. Этот случай изменения параметра иллюстрирован на рис. 9.3, б. Соответствующее дифференциальное уравнение движения запишем в виде
q -j- kl (1 — [і cos arf) q = 0. (11.1)
Как и и § 10, здесь ко — среднее значение собственной частоты, |Л — относительная глубина пульсации переменного коэффициента. Дифференциальное уравнепие с переменными кооффициентами (11.1) называется уравнением Матье. Обычно это уравнение записывают в форме
-yjr + (a — 2є cos 2т) q = 0, (11.2)
к которой можно прийти, положив в уравнеппп (11.1) Wf = 2т, = 11 = ?-, (11.3)
Решениями уравнения (11.2) служат специальные функции, называемые функциями Матье, свойства которых подробво изучены. Как и в случае рассмотренного в § 10 параметрического возбуждения, эти решения могут быть или ограниченными, или неограниченно возрастающими. Выделение соответствующих этим случаям областей параметров а и є приводит к диаграмме устойчивости, кото-
184
ГЛ. III ПАРАМЕГРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
рая дана в готовом виде на рис. 11.1 (диаграмма Айн-са — Стретта); она сходна с диаграммой устойчивости, изображенной на рис. 10.1. Границам между областями устойчивости и неустойчивости соответствуют периодические движения. Диаграмма устойчивости симметричпа
-2 ~ 0 2 4 S 8 10 а.
Рис. 111
относительно оси а, так как знак г в уравнении (11.2) не имеет значения.
Если дифференциальное уравнение задачи приведено к форме (11.2), то по данным значениям а и є с помощью диаграммы устойчивости можно сразу сделать заключение об устойчивости или неустойчивости системы. Как и выше, речь может идти либо об устойчивости состояния равновесия (q — отклонение от этого состояния), либо об устойчивости некоторого основного движения (в этом случае под q следует понимать вариацию координаты).
Для приближенного определения границ между областями устойчивости и неустойчивости в плоскости параметров а, г может быть применен способ гармонического баланса. На границах первой области неустойчивости движение должно быть периодическим, причем период, как мы видели в § 10, вдвое больше периода изменения параметра. Ho период изменения параметра в уравнении (11.2) равен л, так что указанное движение имеет период 2л и его можно представить в виде ряда
q = A1 sin т+ Si cos т + Аз sin Зт + Вз cos Зт + ... (11.4)
Ограничиваясь первыми двумя членами, подставим их
§11. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО ЗАКОНУ СИНУСА
185
сумму в уравнение (11.2); приравнивая нулю коэффициенты при sin т и cos т, получаем два однородных уравнения
(іа—є—1)Лі = 0, (а + є—1)#і = 0, (11.5)
из которых следуют уравнения обеих границ:
апр = 1 + є, (Ijwb=I — є. (11.6)
Эти уравнения можно уточпить, принимая во внимание большее число членов ряда (11.4).
Приведем без вывода более точные уравнения для первых четырех областей неустойчивости, обозначая значения а на границах п-й области неустойчивости через
пр лег.
ап и
/7ПР — 4 _L_ р-----------— р2-------рЗ _______ __1__ р4 !_
aI — + є 8 64 1536 + • •
а^ев = 1 - є — |є2 + Ає3- -J- е* 1536
аТ = 4 + Slcn CO to 763 e* + 13824ь + • • M
аГ = 4- I 2 12 s і ^ „4 13824 • • 5
а-7 — Q 1 -S2 16 13 є4 + •
— J -| 1 64 1 20480
аГ = 9 + — S2 16 s 1OS1 13 о4
64 20480
В заключение заметим, что не учтенное здесь вязкое трение несколько суживает границы областей неустойчивости, подобно тому как ото было пояснено в § 10.
2. Примеры.
Пример 11.1. Наіітії условия устойчивости вертикальпого состояния равновесия обращенного маятника (рис. 11.2,), если точка его подвеса гармонически колеблется около среднего положения по .чакону у — A cos со/ с частотой со и амплитудой А. Длипа маятника равпа I.
