Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
А = cos -V cos -4;-=Tr-J— sin -?- sin -V- =
2 2 12
= cos яа уЧ -f H cos яа У1 — р, —
1
sin яа /Г + psin яа Vi- (Я, (10.10)
причем а = &о77(2я) есть отношение среднего значения к0 собственной частоты к частоте пульсации параметра. Корни уравнения (10.9) следующие:
Xi=A-IA2-I, Х2 = А + Ы2-1. (10.11)
Для того чтобы числа Xi и X2 были вещественными, как это предполагается по смыслу решаемой задачи, должно быть
141 > 1, (10.12)
т. е. либо А > 1, либо А < — 1. Ho в обоих этих случаях модуль одного из корней (10.11) больше единицы:
если А > 1, то X2 > 1; если А < — 1, то Ui I > 1.
Отсюда следует, что если выполнено неравенство (10.12), то колебания будут с каждым новым периодом увеличиваться. Неравенство представляет собой не только условие вещественности множителя X, но одновременно и условие возникновения параметрического розонанса.
Так как значение А зависит от двух постоянных системы а и |i, то их значения полностью определяют устойчивость системы.
На рис. 10.1 представлена построенная с помощью условия (10.12) диаграмма устойчивости, по осям которой отложены значения 4а2 и 2ра2. В незаштрихован-ных областях значения параметров а и р, таковы, что условие (10.12) выполняется, т. е. система неустойчива. Заштрихованные области диаграммы соответствуют устойчивым состояниям системы. С помощью такой диаграммы можно сразу судить об устойчивости по данным значениям а и (Л без всяких дополнительных вычислений.
Прежде всего обратим внимание па те зоны областей неустойчивости, которые расположены вблизи горизон-12*
180
ГЛ. III. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
тальной оси, т. е. соответствуют малым значениям параметра (л. Как видно, в этих зонах 4а2 ~ п2, т. е.
а«-J (в = 1, 2, ...) (10.13)
То н?е можно найти из (10.10), положив ц, = 0. В самом деле,
А = cos2 Jta — sin2 JtO'-'= C0S 2ла,
т. е. при произвольных значениях а имеем Ы1^1. Равенство Ml= 1, соответствующее возникновению пара-
Рис. 10.1
метрического резонанса, возможно при условии, что аргумент 2па удовлетворяет равенству
2па — пп (п = 1, 2, ...),
из которого также следует соотношение (10.13).
Таким образом, если выполняется условие (10.13), то параметрический резонанс возникает при сколь угодно малой глубине пульсации. При этом основное значение имеет случай п = 1. когда a = 1/2, т. е. когда среднее значение собственной частоты вдвое меньше частоты параметрического возбуждения.
При значительной глубине пульсации и заметном отличии (Li от нуля параметрический резонанс возникает в целых областях значений а, расположенных вблизи значений (10.13); чем больше заданное значение р., тем шире эти области. По этой причине отстройка от парамет-
§ 10. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПО КУСОЧНО-ПОСТОЯННОМУ ЗАКОНУ 181
рцческого резонанса труднее, чем от обычного резонанса; параметрический резонанс более опасен, чем обычный, еще и по той причине, что линейное демпфирование (которое выше вообще не учитывалось) лишь несколько суживает области неустойчивости, но неспособно ограничить возрастание амплитуд колебаний в этих областях*).
Пример 10.1. Груз 1 массы т. упруго подвешен на цилиндрической витой пружине 2 длиной I; коэффициент жесткости пружины равен с. Разрезная втулка 3 периодически обжимает верхнюю часть пружины так, что длительность каждого обжима равна длительности иптервала между двумя последовательными обжимами. Длина деформируемой части пружины при обжиме мало отличается от длины I (рис. 10.2). Найти наименьшее значение f*, при котором возникает параметрический резонанс.
Замечая, что период изменения жесткости T = 2?#, и учитывая малость глубины пульсации, запишем условие параметрического резонанса (10.13):
a = kaTj(2n) — га/2 (га = 1, 2, .. .).
Подставляя сюда к = 1/с/т, T —2t%, паходим лп т / т
1* ~г V Ti
п.шмрш.шоо значение соогнетствуог п = 1: л л/т
l* = T V Т’
т. о. вчетверо меньше периода свободпых колебаний груза.
2. Влияние линейного трения. При наличии вязкого трения вместо дифференциального уравнения (10.1) имеем
q 2hq -I- к% (I ± |i) q = 0, (10.14)
в Котором по-прежнему h^Ya' где Ь — коэффициент
вязкости, а — инерционный коэффициент. Рассуждая, как її в п. 1, запишем решение для обоих полупериодов:
/*г — ht • 7 * • 7-4 —ht 7
Qi--Cje sin -,- ZV cos kxt,
—ht • 7 і 7-4 — ht 7
q2 — C2e sin k2t -j- D2e cos k2t,
Рис. 10.2
*) При действии нелнпеішо вязких сил трепня амплитуды колебаний оказываются ограниченными.
182
ГЛ. III. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ
где
к\ = Yk21-Hi = ]/(! -j - (I)AJ-A21
&* = ]//с" — A2 = |/(1 _ ц) Ag — А2.
Условия в момент t = T/2 имеют вид
(Т\ [Т\ -IT \ -(T'
^\т) = ^[т} Цт] = ^(т
или
fc*2" ИГ
1 І П I _ Г с-,„ 2 I J-V „„„ 2
C1 sin —I—D1 cos -і- = C2 sin —I—j- D2 cos (10.15)
/ k*T * ft*r\ / ftjr
C1 ( — A sin -i—A^cos ~Y~J — Di I h cos —I-
* кЬЛ I k*T *
+ A1 sin -Tp I = C2 ( — A sin —?—h A2 cos
I k*T *
— D21 Acos-A2 sin -Tj-
Далее составляем два условия типа (10.7):
Яді(О)== q2(T), Xqi(O)= q2 (T),
