Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
cSl- aSl“2 CS2 - а82“2 ’ cSS
"is"
„ ,,2
— а„,ш2
(8.13)
и A3- — определитель, который получается из D путем замены /-го столбца правыми частями системы (8.11). Совокупность значений Aj определяет форму вынужденных колебаний, т. е. конфигурацию системы при ее наибольшем отклонении от состояния равновесия.
Если сравнить полученный определитель D (8.13) с частотным определителем (4.29), то можно заметить, что опи совпадают при <о = к. Ho в этом случае определитель D обращается в нуль, так как именно из этого условия были найдены собственные частоты кi, &2, ..., ks.
Однако если D = 0, a Aj=Z=O, то, как это видно из формулы (8.12), все амплитуды A1 становятся неограниченными, т. е. возникает резонанс. Таким образом, можно сказать, что резонанс наступает при совпадении частоты вынуждающей силы с любой из собственных частот.
Возможны и противоположные случаи, когда при определенных значениях ю обращаются в нуль некоторые определители Aj (при этом D?= 0). Тогда амплитуды A1 соответствующих координат qj оказываются равными нулю, что свидетельствует об отсутствии колебаний по этим координатам. Это явление называется антирезонансом.
Остановимся подробнее на случае системы с двумя степенями свободы. Из уравнений (8.11) можно получить следующие формулы для амплитуд А\ и А г:
А Яі(С22~а22ю2)-Я2(С12-аі2ю2)
(Cll-ailw2)(C22-a22w2)-(C12-ai2“2)2’ ,д.,
а нЛс1*-%^)~нAcU-aHv?) * *
(С11- au“2) (с22 - а22“2) - (С12 - ai2“2)2 '
§ 8 СИСТЕМЫ С НЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
163
Положим, далее, что надлежащим выбором координат достигнуто выполнение равенств а\2 = а2\ = 0 и, кроме того, задано #2 = 0.
При этих условиях выражения (8.14) принимают вид
Н l(C22-“22“2)
A1 =
А,
Условие
(Cll-an“2)(C22-a22w2)-Cl
11Sn
(8.15)
(СИ“аи“2)(С22-а22“2)-^
(С11 — Й12®2) (С22 — a22®2) -C12 = O (8.16)
определяет два резонансных значения частоты возмущающей силы; они равны собственным частотам к і и к2 рассматриваемой системы с двумя степенями свободы.
Условие
С22 — а22(о2 = 0 (8.17)
определяет частоту антирезонанса. При этой частоте колебания, соответствующие первой координате, полностью отсутствуют, а наибольшее значение второй координаты согласно (8.15) равно
Нл
12
В этом результате содержится интересная возможность практической борьбы с колебаниями; ею пользуются в некоторых областях техники. Допустим, что имеется некоторая система с одной степенью свободы, подверженная действию гармонической вынуждающей силы. Усложнив систему путем добавления дополнительной массы на упругой связи и подчинив значения жесткости и массы дополнительной части условию (8.17), можно добиться устранения вибраций основной части системы; в этом случае дополнительная часть системы называется динамическим гасителем колебаний (динамическим виброгасителем) .
Следует иметь в виду, что такой гаситель эффективен лишь при строгом постоянстве частоты 0 возмущающей силы; в противном случае он может оказаться даже вредным. Для смягчепия этого недостатка обычно вводят в систему динамического гасителя силы трения, 11*
164
ГЛ. II. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
Ci mt Cp тг
-V 1
-777777777777777777/,
Рис. 8.1
которые делают гаситель «в среднем» полезным в достаточно широком диапазоне частот со.
Пример 8.1. На левый груз системы с двумя степенями свободы (рис. 8.1) действует гармоническая вынуждающая сила Hi sin at. Найти, при каких соотношениях массы т2 правого груза
и коэффициента жесткости C2 правой пружины исчезают колебания левого груза, т. е. правый груз оказывается динамическим гасителем колебаний. Коэффициент жесткости Cl левой пружины и масса тгеї левого груза заданы.
Принимая за обобщенные координаты отклонения Xi и Xi грузов от положения равновесия, составляем дифференциальные уравнения движения:
Hj Sin Mt — CiXi -j- С2(х2 — Xi) = TTJif1,
— с2(х2 — Xi) = т2.X2.
Приводя эти уравнения к форме (8.3)
mI^i + (ci + с2) Xt — с2х2 = Hi sin Cl)t,
Tll2X2 — C2X1 -j- C2X2 = О,
устанавливаем:
ап = ті, а 12 = «21 = 0, «22 = т2,
Cll = C1 + C2, Ci2 = C21 = —C2, C22 = C2.
Согласно условию (8.17) должно быть
C2 — т2(о2 = О,
т. е. искомое соотношение (условие настройки динамического гасителя) имеет вид
°2 2
— = CO
2
и не зависит от значений Ci и тгеї. На рис. 8.2 показано изменение амплитуд Ai и A2 в зависимости от частоты со возмущающей силы. При построении графиков было принято Hi — 10 Н, Ci = C2 = = 10 Н/см, тгеї = пг2 = 1000 кг. При этом собственные частоты равны кі = 0,618 с-1, It2 = 1,618 с-1, а соответствующая антирезонансу частота равна 1 с-1.
Пример 8.2. Найти амплитуды колебаний сосредоточенных грузов, связанных с двухопорной упругой балкой (рис. 8.3, я). Массы грузов одинаковые и равны тге, жесткость EJ сечения балки постоянная. На средний груз действует вынуждающая сила #sin cot
Дифференциальные уравпения движения систем этого типа удобнее составлять с помощью обратного способа. Приняв за обобщенные координаты уи у2, уз — отклонения грузов от положений
