Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
которая определяет также переменную силу трения Д, отличающуюся от номинального значения До. При малых колебаниях, когда скорость х мала по сравнению с Vo, можно принять
Дифференциальное уравнение движения тола запишется в виде
Д — с (хо + х) — тх, или, с учетом (12.4) и (12.5),
ние (12.6) принимает вид (12.3). Таким образом, если то • состояние равновесия устойчиво; если же 170<У*>тО после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний.
Следует иметь в виду, что наше решение определяет лишь начальную тенденцию возмущенного движения. С возрастанием амплитуд колебаний линеаризованное представление силы трения (12.5) будет становиться все менее точным, и для полного анализа всего последующего процесса необходимо учитывать действительную нелинейность силы трения; об этом см. ниже § 13.
3. Системы с двумя степенями свободы без трения. Исследование устойчивости состояний равновесия механических систем с несколькими степенями свободы также состоит в изучении свойств возмущенного движения, т. е. того движения, которое будет происходить после произвольного сколь угодно малого нарушения состояния равновесия. Названные свойства определяются видом
13 Я. Г, Пановко
Xo = До/с.
(12.4)
V = Vo — X,
(12.5)
(12.6)
Отсюда видно, что при v>v%, когдаД0>0, колебания будут затухающими; если же v<C.v%, то Д0<Ои уравне-
194
ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
корней соответствующего характеристического уравнения. Если среди корней X = а + гр имеется хотя бы один с положительной вещественной частью а > 0, то отвечающее ему движение будет «уводить» систему от .состояния равновесия — либо монотонно (если (3 = 0), либо в виде нарастающих колебаний (если (3=^0). Поэтому исследования устойчивости рассматриваемых ниже систем с двумя степенями свободы сводятся к анализу знаков вещественных частей корней.
а) Задача о флаттере. В п. 2а была рассмотрена возможность дивергенции пластинки в потоке газа, причем
принималось, что пластинка шарнирно закреплена вдоль одного края, а вдоль другого края она упруго оперта (см. выше рис. 12.1). При упругом оппрании обоих краев (рис. 12.4) появляется еще одна опасность возникновения неустойчивости, связанная с неконсервативными свойствами рассматриваемой системы с двумя степенями свободы.
Обозначим: y(t)—перемещение центра тяжести пластинки, q>(t)—угол поворота пластинки, с\ и C2— коэффициенты жесткости упругих оиор, JTll2112 — момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через центр тяжести пластинки перпендикулярно ПЛОСКОСТИ чертежа, I — длина пластинки вдоль потока, Ъ — расстояние от точки приложения подъемной СИЛЫ
Y = Uy9-^l ф
до правого края,
R1 = C1 I У +
Jl
= C2 (у-^T
— упругие силы реакции.
Дифференциальные уравнения возмущенного движения имеют вид
Y = ту,
I N ml2 “
tJ=12(P-
§ )2 УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ 195
Подставляя сюда выражения для Y, Ri и R2, иолучаем однородную систему
ij + Cuy + С12ф = о,
ф + спу + с22ф = о,
(12.7)
в которой
, С1 + С2 „ (С1 - с2) 1 kV ,
11 т ’ 12 2т т 2 ’
с S(cZ-S) 3 (*, + *,) Jcv ^
С2! — ml ’ 22 — т + Ь ml2 2 ^ >'
Сразу отметим, что неравенство сі2 Ф с2х служит признаком неконсервативности системы; ниже мы непосредственно убедимся в том, что энергия рассматриваемой системы может с течением времени убывать (при малых скоростях потока) или возрастать (при достаточно больших: скоростях потока). Принимая частное решение системы (12.7) в виде
у = AlCu, ц> = А2еи,
получаем
Al (X2 + Cu)+ ^2Cl2 = О, Aic2I + A2 (X2 + С22) = 0;
отсюда следует характеристическое уравнение
= 0,
C21 ^ С22 Т. Є.
X4 + Х2(Сц + C22)+ CuC2 2 — Ci2C2x = 0.
Таким образом, корни характеристического уравнения имеют вид
^1,2,3,4 =
= ± ± |/- (с,А, - C11C,,).
(12.8)
Если разность сцс22 — Cx2C2I отрицательная, то один из корней (соответствующий двум знакам плюс) оказывается вещественным и положительным; отвечающее это-13*
196 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
му корню движение представляет собой апериодический монотонный уход системы от положения равновесия. Следовательно, это положение — неустойчивое.
Если же эта разность положительная и удовлетворяет неравенству
CC-CC > N + Ч2
C11C22 lI2C2I I 2 I ’
то корни (12.8) оказываются комплексными:
Яі = а + ф, Яг = а — г[3, Яз = —а + ф, Xi — —а — ф,
где а и ^ — положительные и вещественные. Первой парс этих корней соответствует движение
у = ЛиЛ* + Л12Л‘ = BieatSin (Pf + Y1),
ср = A2le^ -(- А22е*~2 = В2еа sin ф? -(- Y2),
т. е. колебания с монотонно возрастающими амплитудами. Отсюда ясно, что в рассматриваемом случае состояние равновесия также неустойчиво.
Таким образом, для того чтобы рассматриваемая система после возмущеиия оставалась п окрестности положения равновесия (что и принимается здесь за иризпак
устойчивости), необходимо, чтобы разность CiiC 22 — С12С21 удовлетворяла двум неравенствам:
О < C11C22 - C12C21 < (С-Ц^)2. (12.9)
