Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пановко Я.Г. -> "Введение в теорию механических колебаний" -> 62

Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. — 252 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriumehkolebaniy1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 73 >> Следующая


/* (Kt — Ф) = / [A cos (k0t — ф), — Ak0 sin (k0t — ф)] (13.19)

и тождественно в нуль не обращается. После умножения на инерционный коэффициент а правая часть будет представлять собой некоторую неуравновешенную силу. В соответствии с основной идеей энергетического метода потребуем, чтобы работа этой силы за период 2п/к0 равнялась нулю. Работа силы а/* на элементарном перемещении dq равна aj^dq = af^qdt. При учете соотношений (13.18) и (13.19) условие энергетического баланса запишется в виде

2Л Ih0

— aAk0 [ j [A cos (к — ф), — Ak0 sin [k0t — ф)] X

о

X sin (k0t — ф) dt = 0. (13.20)

Обозначив

k0t — ф =

2 Tt

ф (А) = — [ / (A cos t|), — Ak0 sin т|з) sim() dty, (13.21) о

получим услояие для определения стационарной амплитуды автоколебаний в виде *)

Ф(/1) = 0. (13.22)

В качестве нрнмера найдем амплитуду автоколебании для системы, описываемой дифференциальным урав-

*) Отметим, что выражение (13.21) точно совпадает с выражением (2.42), которое было найдено в § 2 методом медленно меняющихся амплитуд Согласно этому методу для определения сыционарных амцлпгуд также следует нолоащть Ф(Л) = 0.
218

ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

нениом (13.7); выше эта задача была точно решена способом поэтапного интегрирования (прииасовывания).

В данном случае

/(?. ?) = — -j-г + Tl sign^

и

Abka R

/ (A cos гр, — Ak0 sin гр) — sm гр -1- sign (— sm tJi),

т. е.

/ (Л cos гр, — Ak0 sin гр) =

Abk

R

а

Abk

-єіпгр---- при 0<гр*<л,

Л.

-віпгр-І—2 при я<Сір<2я.

Согласно формуле (13.21) находим

Ф(А)

271

+ J

С (Abk . Л \ .

I u Sm гр -----^!втгрогр

•4Ы:

0 sin гр -J- j sin гр с/гр

пАЪк 4 Л

-H1 4 (13.23)

Теперь из условия (13.22) находим для амплитуды автоколебаний прежнее выражение (13.11).

4. Метод малого параметра. Как и в методе медленно меняющихся амплитуд, нужно прежде всего выделить из заданной функции F(q, q) линейную часть и представить основное дифференциальное уравнение в виде

q + ІЩ = Kb 3). (13.24)

Для квазилинейных систем нелинейную функцию

f(q, q) можно представить в виде ^/*(<7, q), где р,— заведомо малый параметр. Одиако в подобных случаях можно поступить її по-иному—формально ввести в правую часть (13.24) множитель ц = 1 п записать уравнение (13.24) в виде

<7 + *o<Z = (Я’ q)- (13.25)

Тогда в последующих выкладках буква fx будет служить лишь «сигналом малости» того сомножителя, около ко-
S 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 219

торого она стоит; если в этих выкладках возникнут степени буквы р (т. е. р2, р3 и т. д.), то они будут как бы отмечать величины второго, третьего и т. д. порядков малости. Разумеется, что при таком формальном введении параметра р в окончательных результатах нужно вновь положить р = 1.

Согласно основной идее рассматриваемого метода, решение уравнения (13.25) ищется в виде ряда по степеням малого параметра р

q(t)='qo(t)+ Miit)+ M-2^z (0 + • • •, (13.26)

в котором ryo(t), qi(t), q2(t), ... — пока неизвестные функции. Поскольку частота искомого процесса движения, обозначенная ниже через к, может не совпадать с собственной частотой линеаризованной системы ко, принимается аналогичное разложение

*0 = (xYi М-Тг + • • •, (13.27)

где "fi, f2 — постоянные, также пока неизвестные.

Теперь выражения (13.26) и (13.27) подставляются в обе части основного уравнения (13.25). Слагаемые полученного равенства будут пропорциональны различным степеням малого параметра р, и следовательно, после группировки слагаемых равенству можно придать вид

D0 + рА + H2D2 + ... = 0. (13.28)

Здесь D0, Du D2... — некоторые комплексы выражений, не содержащие малого параметра. Так как соотношение (13.28) должно выполняться нри любом значении р, необходимо, чтобы порознь равнялись нулю Do, Dі, D2...

При этом получается система уравнений следующего вида:

їо “Ь kIq = Oi

Яі + Hqi = Pi МО* %(0Ь (13.29)

<72 + А'о92 = P2 IqAt)’ <7і(0].

Конкретный вид выражений Р\, P2, ... зависит от того, какова заданная функция j(q, q); конечно, в развернутые выражения Pі, P2, . . ., войдут также постоянные Ti, 72, ...
220 ГЛ. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ рлытор.есия

Далее последовательно, одно за другим, решаются уравнения (13.29), причем постоянные Ji, J2, ¦¦¦ определяются из условия отсутствия в решениях вековых (резонансных) членов, т. е. таких, которые содержат время t вне знаков тригонометрических функций; те же условия позволяют также найти и амплитуду автоколебаний.

He останавливаясь на обсуждении выкладок в общем случае, обратимся к задаче об автоколебаниях системы, описываемой уравнением Ван дер Поля (13.2), которое запишем в виде

q + q = |а(1 — q2)q. (13.30)

Отметим, что в данном случае />'о = 1; поэтому коэффициент при q в лєііой части уравнения (13.30) нужно представить в виде (13.27):

I=A:2 + (Afi + |a2,y2 + • • •

Ограничиваясь учетом слагаемых до первого порядка малости, подставим в (13.30)

l = /c2+ (-1^1, q = qo + Iiqi- (13.31)

При этом получится
Предыдущая << 1 .. 56 57 58 59 60 61 < 62 > 63 64 65 66 67 68 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed