Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве первого примера рассмотрим систему с вязким трением, на которую в моменты прохождения через положение равновесия с положительной скоростью (q = 0, q > 0) действуют мгновенные импульсы S, направленные в сторону движепия (см., например, рис. 0.2,6). В промежутках времени между двумя последовательными импульсами движение системы описывается дифференциальным уравнением (2.6), решение которого примем в форме (2.7). Входящие сюда постоянные определяются условиями в начале рассматриваемого
'14 fT T1 ТТянпит;/!
210
ГЛ IV УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИИ
п-то промежутка q (0) = 0, q (0) = q+:
ci = <lt/k*’ C2 = O.
Таким образом, для q и q имеем
? = (ЧЇ/к*)е~м&їп к*Ъ
. . (13.5)
q = q+e-ы [cos к J — (hjk*) sin kj}.
В последний момент перед приложением очередного (ге+1)-го импульса, т. е. при t —2я/к^, обобщенная скорость равна
л— г— /7+/э~ 2nfi/h%
Vn+і ”п
Следовательно, непосредственно после приложения следующего импульса
gt?1 = 2,7+1 + 9ie-*nh/k* + f • (13.6)
В стационарном режиме, т. е. при движении по предельному циклу, ДОЛЖНО быть qt+І ~ ?п' 113 эт°ГО условия периодичности следует выражение для обобщенной скорости сразу после приложения любого из мгновенных импульсов:
a (i— е~2nh^h*)'
Соответственно для обобщенной координаты находим
__________S________
?тах ^ а/с* (1 - е-2"ЛА*) •
Энергия, рассеиваемая в рассмотренной системе за время свободного движения между двумя последовательными импульсами, мгновенно восполняется благодаря скачку скорости в момент ирилоя{Єіщя импульса.
Сходными автоколебательными свойствами обладает система, в которой наряду с обычной силой вязкого трения действует сила отрицательного кулонова трения. Характеристика трения показана на рис. 13.5, а, так что дифференциальное уравнение двшкения имеет вид
aq + bq — Ti0Sign q + cq = 0. (13.7)
§ 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 211
Здесь причиной самовозбуждения колебаний служит отрицательная сила кулонова трения. При малых отклонениях системы от состояния равновесия влияние указанной силы значительнее демпфирующего влияния силы вязкого трення и состояние равновесия неустойчиво. Однако при дальнейшем развитии колебаний эти влияния сравняются и установится стационарный режим автоколебаний (рис. 13.1,6). После большого начального
отклонения (рис. 13.1, в) постепенно устанавливается тот же стационарный режим.
Рассмотрим какой-либо интервал процесса, в котором координата убывает (см. на рис. 13.5, б интервал, отмеченный числами 0 и 1/2); па этом интервале дифференциальное уравнение (13.7) принимает форму
aq + bq + cq = — R0,
п его решение при начальных условиях qo = Ao, qo = О имеет вид
q = (л + е~'“ (c°s Kt + -J^sin k*t) — -71 ¦
Далее находим скорость
I Я \ к2 q = — (л + —) —sin к J
*
(обозначения соответствуют принятым в § 2). В точке 1/2 скорость обращается в нуль, и этому моменту соответствует равенство
212 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ равновесия причем координата q принимает значение
__jtft f _nh\
q = Am = -A0e h*~ (Це k*j. (13.8)
На следующем интервале времени 1/2—1 скорость положительная, и из уравнения (13.7) имеем
aq + bq + cq =• Rq. (13.9)
Для этого интервала времени при смещенном в точку 1/2 начале отсчета получим
Я = i/a — е~ы (cos кJ + -L sin Ktj +
Qr = — (^i/2 — -Tl) e_W-p- sin M-
*
В состоянии 1, когда qi = 0,
k%t^ = л,
координата q равна
IL (. -?]
q = A1 =-A112е k* + -!LU + e hV
Подставив сюда выражение (13.8), найдем связь между двумя последовательными положительными отклонениями:
2Uh / _Е^\2
A1 = А0е~-h* + Il -1-е к*) , (13.10)
причем длительность одного цикла (период автоколебаний) составляет 2л//;*. В стационарном режиме должно быть Ai =A0 = Act. Отсюда находим
/4A_p—nh/k*\2
= ~ 1 _ е~2ЯЛ/Й** (13.11)
При малых значениях отношснпя h/k# можно принять
2 IiJc
Act
о
ст nch
В качестве третьего примера рассмотрим систему, показанную на рнс. 13.6, а. Она состоит из равномерно движущегося ведущего звена 1, приводящего через пружину 2 в движение груз 3. Между грузом и поверх-
§ 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 213
ностыо, по которой он скользит, развивается сила сухого трения; характеристика трения имеет вид, показанный на рис. 13.6,6, и схематически отражает известное из экспериментов различие меяеду предельной силой трения ПОКОЯ И СИЛОЙ TJtcHHH движения.
Введем обозначения: Vo—скорость ведущего звона, с — коэффициент жесткости пружины, т — масса груза,
#1
ДАМА /—
г
а о
Рис. 13.6
/с =V с//га, Rі — предельная сила трения покоя, Rz — сила трепня движения.
Очевидно, возможно такое движение рассматриваемой системы, при котором скорость груза 3 также равна Vo-При этом пружина 2 сжата постоянной силой Р, равной силе трения движения R2. Однако, как мы убедимся, этот режим может оказаться неустойчивым и при определенных обстоятельствах около него возникают автоколебания.
Если скорость V0 мала, то какое-либо случайное препятствие может оказаться достаточным для остановки груза на некоторое конечное время.
