Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пановко Я.Г. -> "Введение в теорию механических колебаний" -> 61

Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.

Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний — Москва, 1980. — 252 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriumehkolebaniy1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 73 >> Следующая


Ведущее звено, продолжая движение вправо, будет сжимать пружину до тех иор, пока сила сжатия P не сравняется с силой треипя покоя Rx. Лишь после этого произойдет срыв груза, причем сила трения мгновенно уменьшится до значения Rz- Ho сила сжатия пружины в первый момент начавшегося движения будет по-прежнему равна Ri, и, следовательно, равновесие сил, действующих на груз, нарушится.

Совместим с моментом срыва начало отсчета времени f = 0 и заметим, что в этот момент равны нулю как координата х, так и скорость х:

?(0) = 0, ?(0) = 0 (13.12)

(отсчет перемещений будем вести от места остановки груза).
214 ГЛ IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

Рассмотрим теперь процесс последующего движения. К некоторому моменту времени t > 0 длина пружины изменится на отрезок x — vot и соответственно сила упругости пружины уменьшится до значения

P(t) = Ri — с(х — v0t). (13.13)

Таким образом, дифференциальное уравнение движения груза запишется в виде

R\ — с(х — v0t) -R2 = тх,

или

Я,— яо

X -I- к-X — k2vJ -|— -----.

1 0 1 т

Решение этого уравнення, удовлетворяющее начальным условиям (13.12), имеет вид

V R, — R

х = v0t----Y sm kt ———- (I — cos kt). (13.14)

Первое слагаемое правой части выражает равномерное движение со скоростью ведущего звена, а остальные слагаемые — дополнительные колебания груза.

Скорость груза меняется но закону

к IR — R A х = v0 — va cos kt -J- ——-----— sin kt

и в некоторый момент времени может вновь обратиться в нуль. Условие новой остановки груза приводит к уравнению

kIR.— R9) vu — v0 cos M1 -I--------— sin M1 = О,

в котором t\ — время от момента срыва до момента новой остановки. Введем безразмерный параметр

с%

Теперь условие остановки принимает вид a sin kt\ = cos kt\ — I.

Решив это уравнение, найдем

2а 1л 1-а2
§ 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 215

Модули полученных выражений всегда меньше единицы, так что из (13.15) всегда следует вещественпое значение t1. Получив это значение t\, можно но формуле (13.14) определить координату х груза в момент новой остановки, т. е. путь, пройденный грузом за время t\\

va R — Я 2аг

xi = Vi — -f sin kh + —c----- (1 — cos kti) = vOtI + -JT"

С учетом выражений (13.15) найдем по соотношению

(13.13) силу сжатия пружины в момент остановки:

P(t{) = 2R2-R1.

Отсюда видно, что P(t\)<R\ (так как R2<Rt). Следовательно, после остановки груз некоторое время будет оставаться на месте, пока сила сжатия пружины вновь не достигнет значения предельной сігльї трепня покоя. После этого произойдет новый срыв груза п начнется следующий цикл, полностью совпадающий с предыдущим. Таким образом, рассматриваемый процесс представляет собой стационарные автоколебания.

За время, в течение которого груз покоится, сила сжатия постепенно возрастает па величину

AP = R1-P (^)=2^-R2), шолпнтельпое УК

AP _ 2 (д1 - Ri)

и соответствующее дополнительное укорочение пружины составит

AZ =

с с

•)той же величине равен путь, пройденный ведущим звеном за время остановки груза. Следовательно, длительность состояния покоя груза равна

t2 - — = 2 (/?1 ~ Ri) = . (13.16)

!,о С!’о к

(Тот же результат можно найти из условия Vo(t\ + I2)-= Z1, выражающего равенство перемещений груза и ведущего звена за один полный цикл рассматриваемого процесса.)

Таким образом, период автоколебаний определяется формулой

T = t 1 +- h,
216 гл. IV. УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

для пользования которой сначала нужно найти t\ из выражений (13.15), а затем t2 из формулы (13.16).

Чем меньше скорость ведущего звена, тем более резко выражен процесс автоколебаний. Действительно, при малых значениях V0 безразмерный параметр а становится весьма большим и из выражения (13.15) следует приближенно

SinZrf1-^-O, cosUt1-+ — 1, т. е. /і =

Соответственно (13.16) это приводит к следующей формуле для периода автоколебаний:

т __ я + 2а к

Здесь ясно видно, что роль второго слагаемого в числителе возрастает с уменьшением скорости V0.

Законы движения при двух различных малых значениях V0 графически показаны на рпс. 13.7, а; на

Гис. 13,7

рис. 13.7, б показаны соответствующие законы изменения скорости. С уменьшением скорости период автоколебаний растет.

3. Метод энергетического баланса. Этот метод, которым мы пользовались при исследовании свободных колебаний систем с нелинейным трением (п. 2 § 2) позволяет получить приближенное решение задачи о стационарных автоколебаниях квазилинейных систем, движение которых описывается дифференциальным уравнением
§ 13 СТАЦИОНАРНЫЕ РЕ/КИМЫ II ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 217

Здесь, как указывалось, f(qt q)—функция, состоящая из малых нелинейных членов. Поскольку эти члены малы, естественно принять к= к0 и искать решение в виде

q = A cos(k0t — ф), (13.18)

где А и ф — постояпные. В этой записи существенно предположение о том, что частота автоколебаний к P а в и а собственной частоте линеаризованной системы. Выражение (13.18) не может строго удовлетворить уравнению (13.17): этому мешает правая часть f(q, q), которая после подстановки (13.18) принимает вид
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 73 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed