Введение в теорию механических колебаний - Пановко Я.Г.
Скачать (прямая ссылка):
(go + M-tfi) + (к2 + IA1Yi) (qo + Iiq0 =
= |а[1 -(qo+ Htfi)2] (до+ М40>
или, объединяя члены одного порядка малости,
(tfo + к\) + ц (? + Wql + Yitfo — tfo + fIotIl) +¦¦¦= 0,
(13.32)
где многоточие обозначает слагаемые второго и высших порядков малости. Из (13.32) получаем уравнения вида (13.29):
tfo + = 0, (13.33)
tfi + k*qi = — Yitfo + tfo — tfotfo- (13.34)
Будем вести отсчет времени от момента, когда координата q максимальна; искомую амплитуду автоколебаний обозначим через А. В начальный момент скорость q равна нулю, так что можно записать q (0) = /1, q (0) = 0, или,
§ 13. СТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ 221
согласно второму соотношению (13.31),
<7о(0) + (0) = А,
q о(0)+ (яд і (0) = 0.
Для того чтобы и эти соотношения удовлетворялись прп любых зпачспнях р,, должно быть
So(0 ) = А, So(O) = Ol (13.35)
?1(0)=0, Si(O) = O. (13.36)
Теперь можно записать решение уравнения (13.33), удовлетворяющее начальным условиям (13.35),
So =A coskt, (13.37)
и затем перейти к уравнению (13.34), которое с учетом (13.37) получает вид
S1 + Ar2Si — — 1Yi A cos kt — Ak sin kt + Аък sin kt cos2 kt.
I
Сделав замену sin kt cos2 kt — (sin kt sin 3kt), окон-чательпо имеем
S1 + к2 Si =
= — YiA cos kt — Ak (l — s^n ^ + s^n ЗАЛ (13.38)
Для того чтобы в решении этого уравнения отсутствовали вековые слагаемые, необходимо, чтобы коэффициенты при cos kt и sin kt равнялись нулю. Первое условие дает Ti = O; согласно (13.27) получаем, что к2 = к20 = 1, т. е. в данном случае частота автоколебаний совпадает с собственной частотой линеаризованной системы. Теперь
A2 к
из второго условия I-------= 0 находим амплитуду ав-
токолебаний A = 2.
Следует обратить внимание на то, что полученная амплитуда оказалась не зависящей от малого параметра (х, входящего в заданное уравнение (13.30). Однако отсюда не следует, что его значение вообще несущественно для рассматриваемой системы. Значение (X, определяет быстроту приближения системы к движению по предельному циклу — чем больше (X, тем быстрее происходит это приближение. Кроме ТОГО, значение ^ влияет и па подробности движения по предел Ьцому циклу.
222 г Л IV УСТОЙЧИВОСТЬ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
В самом деле, из (13.38) прп начальных условиях (13.36) можно найти
т. е. движение зависит от значения |Л.
§ 14. Переходные процессы и устойчивость
стационарных режимов
1. Вступительные замечания. Для анализа переходных процессов также могут быть применены изложенные выше методы; в частности, для кусочно-линейных систем целесообразно использовать способ поэтапного интегрирования, а для нелинейных систем со слабой нелинейностью — энергетический метод или метод медленно меняющихся амплитуд.
Получаемые с помощью указанных методов результаты полезны еще и в том отношении, ЧТО они позволяют исследовать устойчивость стационарных режимов.
2. Способ поэтапного интегрирования для кусочнолинейных систем. Идея способа была пояснена выше, а особенности применения к задачам исследования переходных процессов можно проследить на примере системы, описываемой дифференциальным уравнением
He повторяя прежних выкладок, примем в качестве исходного соотношение (13.10), которое связывает две последовательные амплитуды A0 и А ь
В § 13 прп нахождении стационарных режимов амплитуды полагались неизменными, однако здесь нри определении переходного процесса необходимо учитывать различие между ними.
Виедем обозначения
A3
_ 32? ^ S*n ^ — S*n Следовательно, с учетом (13.37), получаем
(13.7).
а = _|_ 1)2^ р = е-2пЛ/й*;
тогда для любой я-й амплитуды можно записать
An = рЛ„_! + aRo/c.
(14.2)
(14.1)
§ 14 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И УСТОЙЧИВОСТЬ
223
С помощью последнего рекуррентного соотношения можно найти любую амплитуду через предыдущую и, если потребуется, оценить быстроту приближения переходного процесса к стационарному режиму.
Решение может быть существенно упрощено, если, как и выше (см. § 2, и. 2), вместо дискретной совокупности ординат рассматривать непрерывную функцию A(t) (огибающую). Для такого перехода нужно заменить конечную разность A^l =An- выражением
, , 2л dA
^A = -T- -гг.
к* at
Тогда с помощью (14.2) получим дифференциальное уравнение для верхней огибающей
2л с1Л .. , ,
к;тг = {$-{)А + а-т-
После интегрирования найдем при начальном условии A=A (0) при t = 0
aR I aRn
-ft*i(l-fl)/(2n) 4__У__ (14 3)
1 (I-P) с’ К ’
А
[/' (0)
(1 - р) с J
или, с учетом выражения (13.11),
A= [А (0) — Acт] е-ь**и-Р)/(2л) _|_ Асг_
При достаточно малых значеннях коэффициента вязкого трения h/k# можно принять а г» 4, р~1— Inhikif. При этом получится
А = [А (0) — Alt] е~’“ + Alt, (14.4)
где согласно (13.11)
Act = 2 R0k^/(nch). (14.5)
Для того чтобы убедиться в достаточно высокой точности последних выражений, рассмотрим пример, положив, что = 0,05. В таблице представлены безразмерные значения первых 15 амплитуд, вычисленных по рекуррентной формуле (14.2) и но приближенному уравнению (14.4) (для того чтобы найти амплитуды A11, нужно внесенные в таблицу числа умножить на величину Rolc). Значение Л(0) полагалось равным нулю, а значения -<4СТ, Соответствующие П OO, определялись по выражениям (13.11) и (14.5).
