Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Матрица MxN имеет размерность (т,\П\ X tn2n2). Строки и столбцы ее нумеруются двойными индексами, обычно располагаемыми в алфавитном порядке.
Примечание:
(M X Af) (M' X N') = MM' X NN'
(см. Е. В и г н е р, Теория групп и ее приложения к квантово-механической теории атомных спектров, Изд. «Мир», 1961). 2. Множества матриц.
а) Прямая сумма двух упорядоченных множеств матриц, содержащих одинаковое число элементов,
Af-{AfbAf2e ,...,M,}
и
N = {W1, N29..., Nk}, представляет собой множество
A!+ Af = (Af1+ Af1, M2 + Af2, Af*+ Af*}
(прямые суммы отдельных матриц).
б) Внутреннее произведение Кронекера двух упорядоченных множеств матриц (обозначения введены в пункте 2а) есть множество
MXN = [M1XNu M2XN29 ..., Mk X Nk}
(прямые произведения отдельных матриц).
в) Внешнее произведение Кронекера двух множеств
{M1, M2, ..., Мк} и (Af11 Af2, ..., Af,/} представляет собой множество размерности kk'
{M1 X Afi, Mi X Af2, ..., Mi X Nur, M2XNu ...9 MkX Af*-}.
ISd
ПРИЛОЖЕНИЕ
3. Отметим различные обозначения сложения и умножения множеств матриц:
Наше обозначение
Лом о н
Вигсер
Прямая сумма
M + N
M®N
Отсутствует
Внутреннее произведение
MxN
M®N
MXN
Кронекера
Внешнее произведение Кро-
Отсутствует
MXN
Отсутствует
некера
СТАТЬИ
1
И. ФОН НЕЙМАН, Е. ВИГНЕР
О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ПРИ АДИАБАТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ
(Phys. Z. 30, 467, 1929)
1. Во многих задачах квантовой механики важно исследовать, как меняются собственные значения и собственные функции при непрерывном изменении одного или нескольких параметров. Например, собственные значения и собственные функции часто бывают известны для каких-нибудь двух значений параметров, а интересно их поведение в промежуточной области. Обычно требуется узнать, могут ли собственные значения пересекаться в этой области, в какое из собственных значений переходит данное собственное значение при преобразовании одного набора параметров в другой и т. д. Хунд [1] поставил перед собой аналогичные вопросы и ответил на последний из них, используя в качестве примера случай одного параметра. Он показал, что пересечение не происходит, если для этого нет особых причин. Мы докажем это в общем случае. Наш метод позволяет также исследовать системы с несколькими переменными параметрами.
Хорошо известно, что собственные значения энергии системы представляют собой не что иное, как собственные значения эрмитовой *) матрицы (#vn)> которую мы для простоты будем считать конечномерной, скажем, /г-мерной. Пусть все п2 комплексных величин Нуц зависят еще от нескольких вещественных параметров хь К2, ... и спрашивается: сколько параметров нужно, вообще говоря, изменить для того, чтобы добиться совпадения двух собственных значений? Мы увидим, что, вообще говоря, нужно выбрать должным образом три параметра (слова «вообще говоря» означают, что между величинами нет никаких соотношений, кроме вытекающих из условия эрмитовости **)). Таким образом, если можно изменять только один или два параметра, то пересечение двух собственных значений в общем случае невозможно.
*) Эрмитовость существенна для доказательства.
**) Можно было бы ожидать, что для совпадения двух вещественных собственных значений должно выполняться лишь одно вещественное условие. Ниже, однако, будет показано, что имеет место особый случай, когда число условий увеличивается.
h54
И. ФОН НЕЙМАН, Е. ВИГНЕР
Для того чтобы показать это, найдем число свободных вещественных параметров /г-мерной эрмитовой матрицы при наличии и в отсутствие вырожденных собственных значений. Разность полученных чисел даст нам число параметров иі, к2, • •., изменяя которые можно добиться совпадения собственных значений.
Хорошо известно, что любую эрмитову матрицу (HVVL) можно привести к диагональному виду с помощью унитарного преобразования (U9x,):
HVVi = ^E9U9VU9[l, (1)
р
где E]1 ?2, ... — собственные значения. Для определения #vLl нужно, следовательно, знать п вещественных чисел E9 и унитарную матрицу (U9x,)—с точностью до унитарной матрицы, коммутирующей с диагональной:
E1
0
0 .
.. 0
0
E2
0 .
.. 0
0
0
Ez .
.. 0
(2)
0
0
0 .
¦¦En
Матрицу (U9x) можно умножить справа на такую матрицу, не изменяя соотношения (1). Поскольку унитарная матрица определяется п2 параметрами, число свободных параметров эрмитовой матрицы равно п2 + f— v, где f есть число несовпадающих в.еличин среди Е\, E2, En, a v — число параметров унитарной матрицы, которая коммутирует с матрицей (2). Если все величины ?i, E2, ..., En различны, то с матрицей (2) коммутирует только диагональная матрица; в противном случае величины E9 можно разбить на группы так, что в каждом выделенном квадрате встречаются лишь одинаковые значения ?, т. е.
E1
0
0
0
0
0
0
E1
0
0
0
0
0
. 0
E2
0
0
0
0
0
0
E2
0
0
0
0
0
0
E2
0
'
-
