Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Нокс Р. -> "Симметрия в твердом теле" -> 52

Симметрия в твердом теле - Нокс Р.

Нокс Р., Голд А. Симметрия в твердом теле. Под редакцией Григоровой В.А. — М.: Наука, 1970. — 424 c.
Скачать (прямая ссылка): simvtvtel1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 144 >> Следующая


ср. (к) = а, (х) г|? + а\ (х) г|/ + 2 <*iv M +v.

v

<р2 (х) = а2 (х) ф + Ct2" (х) г|/ + 2 «2v M

и подставим эти выражения в уравнения

(Я + хЮФі (*)-?і(х)фі (и), (Я + хУ) <p2 (х) = ?2 (х) <р2 (х).

Полагая

(*^+)-»; W9ViO-V;

158 И. ФОН НЕЙМАН, Е. ВИГНЕР

*) Это обстоятельство неоднократно подчеркивалось Ф. Хундом.

и для вычисления их достаточно найти величины

?, (к)- и М*)~^. О)

а, (х) а2 (х)

Последние равны •_

и _ (10)

? ЛЛ^ *g/ ^ e-/e2 + x2|a'|2 .

P21 ' е + КеЧ^КР ко'

они нанесены на рисунке штриховыми линиями, причем число v' естественно должно считаться вещественным. Видно, что для больших отрицательных и

?i(-°°) = T7T; ?2(-oo)=-T5T, (11)

тогда как для очень больших положительных

?iM---^; РгМ=-^, (Па)

так что ?i переходит в ?2 и наоборот. Для значений и, удовлетворяющих условию I xv' собственные значения и собственные функции ведут себя так, как если бы они пересекались*).

Величины Vy v' суть матричные элементы V, вычисленные с собственными функциями у и которые при и = О представляют собой правильные линейные комбинации.

Часто бывает полезно выразить минимальное расстояние между ветвями 2є и размер «переходной области» Ax через матричные элементы V\і, Vn = V2u V22у которые можно составить при произвольном X.

После довольно громоздких вычислений получаем для наименьшего расстояния между собственными значениями:

\Йш - Е\)т1п = 2е - / I *Г • (12)

Размер переходной области дается выражением

*c-iffi- pV>-eMVn\\ (13)

О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

159

Значение {E2 — Е\)min достигается при

1 (1Zn-K22) (E2 -E1) ПАХ

Т (Vu -V22)2 + IV1212

Если Vi2 = 0, что всегда имеет место, если уровни Ex и E2 принадлежат различным группам термов, то оба выражения, (12) и (13), равны нулю; это, однако, исключительный случай.

Если не рассматривать х как формальный параметр, а считать, что он действительно может меняться в исследуемой механической системе, то изменение происходит адиабатически [т. е. величина фі(—со) переходит в фі(оо) и ?2(-00) в ?2(00)] при условии, что

h dx

Если, с другой стороны,

ах de):

то значение ф|(—оо) переходит в фг(оо), а фг(—оо) в фі(оо).' В этом случае волновые функции не успевают измениться.

3. Изложенные выше соображения должны применяться, в основном, при рассмотрении вопроса о сопоставлении термов. В частности, -можно получить правило сопоставления термов-при переходе от слабых к сильным магнитным полям [3].' Термы с одинаковыми значениями т не пересекаются. Даже при одновременном изменении электрического и магнитного полей с сохранением их направления нельзя получить пересечения термов;' так как дифференциальное уравнение имеет комплексные коэффициенты и, чтобы добиться пересечения, надо изменять три параметра. Пересечения, однако, можно добиться, если менять и угол между ПОЛЯМИ.

Применяя сказанное к задаче о сопоставлении молекулярных термов и термов изолированных атомов, следует иметь в виду соображения Хунда *) [4]; полученные выше формулы (12) п (13) заключают в себе сводку результатов.

Наши результаты относятся также и к вопросу об адиабатической теореме, поскольку фактически условия «пересечения» до сих пор не были полностью выяснены.

*) При истинно адиабатической связи атомов термы различных мульти-плетных систем также не будут пересекаться из-за спинового взаимодействия. В этом сл>чае, однако, эксцентриситет гиперболы столь мал (из-за малости элемента V\2 для спинового взаимодействия), что гипербола практически вырождается в две пересекающиеся прямые. Согласно Ф. Лондону, такая ситуация должна иметь место и для двух термов, один из которых соответствует сближению двух атомов (К и F), а другой — сближению двух ионов (K+ и F~), если пересечение происходит на большом расстоянии ([5], стр. 475).

160

И. ФОН НЕЙМАН, Е. ВИГНЕР

Наиболее важной областью применения кажется, однако, теория химических реакций Лондона [6]. Не вдаваясь в дальнейшие подробности, сделаем здесь лишь следующее замечание. Лондон рассматривает случай трех атомов, только один из которых движется. Однако даже и он остается в заданной плоскости, проходящей через два других атома. Таким образом, мы имеем два свободных параметра — координаты х и у движущегося атома. Поскольку дифференциальное уравнение вещественно, совпадение собственных значений возможно, но только в изолированных точках, а не вдоль линий. Действительно, Лондон получил в первом приближении только одну точку, в которой собственные значения совпадали. Точечный характер пересечения вытекает теперь из вышесказанного вполне строго, т. е. в произвольном порядке теории возмущений. Можно, следовательно, различать верхнюю и нижнюю энергетические поверхности, имеющие лишь одну общую точку. Эти соображения можно обобщить, получив тем самым некоторую информацию о механике многоатомных систем.

Литература

1. F. H u n d, Z. Physik 40, 742 (1927).

2. Е. Wigner, Z. Physik 40, 883 (1927); 43, 624 (1927).

3. А. Sommerfeld, Z. Physik 8, 257 (1922); A. Lande, Z. Physik 19, 112 (1923).
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed