Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
6. W. Mof f itt, A. D. L і eh г, Phys Rev. 106, 1195 (1957).
ПРИЛОЖЕНИЕ
МАТРИЦЫ
Общие свойства
1. Определение: Матрица Af представляет собой совокупность чисел (вещественных или комплексных), записанных в виде таблицы
Столбец 2
/M11 M12 M13...\
Строка 2} I M2I М22 ... 1
VAf31 ... /
2. Терминология: Элементом Afг$ называется число, стоящее в 5-м столбце и r-й строке. Если матрица Af имеет ш строк и п столбцов, то она называется (m X п)I-матрицей. Если m = п, то Af — квадратная матрица n-го порядка.
3. Сложение: ассоциативно и коммутативно. (Af+ #)^= = Mij + Nij (матрицы Af и N имеют одинаковое число строк и столбцов).
4. Умножение: ассоциативно, но не обязательно коммутативно. Произведение MN двух матриц есть матрица с элементами (MN)11 = 2 MikNki> причем число столбцов матрицы Af
k
должно быть равно числу строк матрицы N.
5. E д и н и ч н а я матрица: 11 ^ = бц (6ц — дельта-сим вол Кронекера). Матрица 11—квадратная.
6. Нулевая матрица: O1J = O.
Простые функции матрицы
(свойства 1—3 применимы только к квадратным матрицам)
1. Обратная матрица: это есть такая матрица Af-1, что AfAf-1 = Af-1Af = 11. Обратная матрица существует, если detAf Ф0.
2. След (шпур): SpAf =2Af« (число).
JQ Р. Нокс, А. Голд
146 ПРИЛОЖЕНИЕ
для всех і.
3. Определит ель (детерминант): обозначается через det M (определяется обычным образом, представляет собой число).
4. Комплексно сопряженная матрица: (M*)i0~ = Ми.
5. Транспонированная матрица: (M) ij = Mjt.
6 Эрмитово сопряженная матрица: (А1+)^ =
7. Примечания. Пусть M = ABC. Тогда
Sp M == Sp BCA = Sp CAB Ф Sp ВАС; det M = det/4-det?.detC;
. ... \->М+ ^C+B+A+. M^CBA J
Специальные матрицы
1. Вещественная M = Af.
2. Унитарная M=(Af-O+; модуль собственных зна-
чений равен 1.
3. Эрмитова M = Al , собственные значения веще-
ственны.
4. Ортогональная M = (M)""1.
5. Симметричная M=M.
6. Диагональная Мг/ = М1б^/.
7. Скалярная Mif = М0Ьц.
8. Особая (сингулярная) det M=O.
1. Матрицы M и M'эквивалентны, если
АГ = S-1MS
(S — неособая, или регулярная, матрица). Другими словами, матрицы МцМ7 «связаны преобразованием подобия»
2. Два множества матриц,
N = [NU N21 ...} и N' = [N'i,-N'2, ...}, эквивалентны, если
ПРИЛОЖЕНИЕ
147
3. Пример: множества матриц
эквивалентны; это сразу видно, если в качестве S взять матрицу
4. Примечания: для эквивалентных матриц M и M' имеем Sp M = Sp M'; det M = det М'9
Диагонализация
1. Определения: для заданной квадратной матрицы Q
а) Характеристическая функция матрицы Q: Zq(A-) — = det(Q — М).
б) Характеристическое уравнение: fa (A)= 0.
в) Собственные значения матрицы Q: корни характеристического уравнения.
г) Матрица Q «диагонализуема», если она эквивалентна диагональной матрице.
д) «Диагонализуемое множество» матриц — множество, эквивалентное совокупности диагональных матриц.
2. Различные теоремы:
а) Матрица Q диагонализуема, если (і) все ее собственные значения различны, или (и) она эрмитова или унитарна.
б) В случае (іі) предыдущей теоремы всегда возможно провести диагонализацию Q с помощью унитарной матрицы Lf9 т. е. U+QU = D, где D — диагональная матрица.
в) Множество матриц диагонализуемо тогда и только тогда, когда все входящие в него матрицы коммутируют.
г) Если матрица Q диагонализуема, то ее собственные значения суть диагональные элементы эквивалентной ей диагональной матрицы. - :
Приведение
Г. Приведенная матрица есть матрица вада. .
или
448
ПРИЛОЖЕНИЕ
где Mn — квадратные матрицы, а остальные элементы — матрицы с соответствующим числом строк и столбцов.
2. Приведенное множество матриц — множество, все матрицы которого имеют один и тот же приведенный вид (т. е. одинаково расположенные блоки нулевых элементов), например,
3. Множество матриц приводимо, если оно эквивалентно приведенному. В противном случае оно неприводимо.
4. Условия неприводимости множества матриц.
а) Любое множество, содержащее только одну матрицу, приводимо; если множество, содержащее более одной матрицы, диагонализуемо, оно безусловно приводимо.
б) Любое множество матриц первого порядка неприводимо (по определению).
в) Простые точные критерии приводимости существуют, когда множество матриц образует группу относительно матричного умножения.
г) В общем случае: .
5. Пример: множество
Прямые произведения и суммы 1. Отдельные матрицы.
а) Пусть M и N — квадратные матрицы порядка пм и nN соответственно. Их прямая сумма есть
приводимо, поскольку оно эквивалентно множеству
получаемому с помощью матрицы
приложение 149
Матрица M + N- квадратная порядка пм +'nN.
Примечание: хотя обозначение прямой суммы совпадает с обозначением обычного сложения матриц, это обычно не вызывает недоразумений.
б) Пусть М— (тх X т2) -матрица, a Af— (п{Х п2) -матрица. Прямым произведением их называется матрица MxNc элементами
(MXN)lhki = MthNiu Sp(M X Af) = SpM • SpAf.
