Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
11*
Конфигурацию, тождественную рассматриваемой, можно получить, смещая все точки из своих положений равновесия на малые расстояния. Для этого частицу [/ = R(k)] нужно сместить на вектор Ruk = RuR-i{iy Смещения
RuR-1 (1), RuR-1 (2), ..., RuR-1 (n) образуют систему амплитуд V(R)U
V (R)U1 = RuR-4l); V (R) ula = 2 Aop^-ico.р (2)
?
данного типа нормальных колебаний, имеющих ту же частоту, что и нормальные колебания и. Операции V(R) заменяют кван-товомеханические преобразования «поворота» и «перестановки электронов» *).
Обозначим через а(1), н(2), u(f) линейно независимые нормальные колебания данной частоты. Очевидно, величину V(R)U^ можно представить в виде их линейной комбинации:
V(R)UM= D(R)^K (3)
Применяя другое преобразование S из группы G, мы получаем
f
V (S) V (R) «<*> = 2 D (Rhx V (S) им = л—і ^ ^
= 22 D (R\K D (SU и'* = S D(SKVxO«».
Я ==1 JJi= i jm= 1
Таким образом, можно заключить, что f-мерные матрицы (D (/?)>.*) образуют представление группы G. Так же как и в квантовой механике, эти представления можно считать неприводимыми. Следовательно, число типов нормальных колебаний равно числу представлений**) (т. е. классов) группы G, а число линейно независимых колебаний данной частоты дается раз-мерностью соответствующего представления.
164
Е. ВИГНЕР
2. Остается еще вопрос о том, сколько есть частот, отвечающих данному типу симметрии. В квантовой механике такой вопрос поставить нельзя, ибо число названных частот всегда равно бесконечности.
Хорошо известно, что любое движение системы, при котором центр тяжести остается неподвижным, можно построить из нормальных колебаний. Для того чтобы рассмотреть все возможные движения, нужно включить еще смещения центра масс по трем координатным осям (эти смещения можно рассматривать как нормальные колебания нулевой частоты), а также повороты относительно названных осей (мы предполагаем, что не все точки системы коллинеарны). В первом случае соответствующее представление есть представление полярных векторов, DW(R), во втором — представление аксиальных векторов, DW(R).
Обозначим систему амплитуд единичных смещений, при которых смещается только k-я частица (и только в направлении ха), через eika) (т. е. е%а) = owoa?). Все смещения можно представить в виде линейных комбинаций единичных смещений е^ка)\
и<*)= 2 2 u^ykaK (4)
k=\ а=1
Обратно, Зп величин e(Aa> можно выразить через векторы и (в число которых нужно включить и векторы смещений, отвечающие трансляции и повороту системы как целого) *):
е(*а)в 2 Па;*«(Х). (4а)
x
(по всем нормальным колебаниям)
Пусть теперь нам известна система амплитуд всех Зп нормальных колебаний. Равенство (3) справедливо для колебаний одинаковой частоты; следовательно, для всей системы имеем
F(/?)«w = Sa(«W«4 (5)
где Д(/?) есть представление вида
D(l) (r) О
А (Я) =
О
О О
di2)(r) О
(5а)
*) Если считать векторы и нормированными, то в силу ортогональности и
»15-V»«»-
ОБ УПРУГИХ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 165
В выражении (5а) блоки D^(R), D&(R), ... описывают неприводимые представления, соответствующие отдельным частотам в смысле (3). Чтобы найти число частот, принадлежащих данному неприводимому представлению, надо определить, сколько раз это представление встречается в представлении A(R). Как хорошо известно, для этого надо знать лишь характер представления A(R)1 т. е. сумму 2Д(/?)ХХ для всех R. Мы мо«
жем найти ее следующим образом.
Используя соотношения (4) и (4а) для того, чтобы ввести векторы е в уравнение (5), представим вектор V(R)e{ka) в виде
П«)еН=ІІд(«)/МаеШ. (6)
Коэффициенты в правой части этого выражения образуют представление A(R) группы G, которое эквивалентно представлению A(R) и получается из последнего преобразованием подобия, характеризуемым Зп-мерной матрицей Vka,x. Характер представления A(R) есть
x(*) = |M*)/?;/?;
в силу сказанного он равен искомому характеру представления A(R),
Вспомним, что е(*а> есть единичный вектор смещения, который смещает k-ю частицу в направлении ха, оставляя все остальные в положениях равновесия; далее, через V(R)e(ka) обозначена конфигурация системы, получаемая после поворота R. Перед этим преобразованием все положения равновесия, кроме &-го, были заняты частицами, после него — заняты все положения равновесия, кроме R(k)-ro. В соответствии с равенствами (2) последняя точка характеризуется координатами /?ia, R2a* Rzu. Следовательно,
V (R) = S Лор 1 <*>'?) -SA (*>Л ka (7)
? /?
Уравнение (7) определяет представление A(R). Для нахождения характера последнего нужно составить сумму его диагональных элементов. Нуль обязательно появляется в ka-м столбце, когда k=f=R-l(k)t и в этом случае сам вектор совсем не входит в выражение для V(R)eikaK Однако если k = R~l(k), то на главной диагонали в k-м столбце матрицы A(R) стоит
Raa- Следовательно,
х і 0 для R(k)?*k,
^Hha;ka-\Rga Для R{k) = h (8)
166
Е. вигнер
и, таким образом,
