Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Из таблицы IV работы [2] видно, что в точке 2 одни только условия симметрии не могут привести к вырождению функций р-типа. С помощью «черной магии» (см. раздел 4.3) можно найти волновые функции, преобразующиеся по тем или иным представлениям группы 2. При векторе направленном вдоль оси (ПО), они имеют вид
у=- (гМ + $уь)> :2i
Построив теперь для этих функций диаграммы типа рис. 15.2, увидим, что представление Si включает функцию типа р, «параллельную» A2. Поэтому ее называют «продольной», как и А]. Остальные функции — «поперечные», как и функции типа As; однако они не обязательно вырождены, так как принадлежат двум различным представлениям.
Отметим, что в точке X функции i|)s* и tyxk уже не смешиваются (sin kxa = s\n Ji = O). Это не случайно. Из табл. V работы [2] явствует, что группа вектора X содержит гораздо больше преобразований, нежели группа А. Это означает, что свойства симметрии волновой функции надо исследовать заново. На первый взгляд могло бы показаться, что группа X есть частный случай А; следует помнить, однако, что теперь допустимо любое преобразование, переводящее вектор (я/а, 0, 0) в (—я/а, 0, 0), ибо эти векторы эквивалентны. С другой стороны, в применении к векторам {kXy 0, 0) и {—kXy 0, 0) при произвольных значениях kx это несправедливо.
134
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Pl iv
Явные формулы в
точке kx имеют вид
р
=_!— V einxpfa ф и
Rp),
¦¦X1
P
Теперь в группу волнового вектора входит и инверсия. При этом преобразовании абсолютная величина экспоненты не изменяется, а все атомные функции меняются местами. В случае ф5* атомные функции вообще не меняются. Так же обстоит дело и при других преобразованиях данной группы; следовательно, tysk есть функция типа Х\. Далее, все функции фх при инверсии переходят в —фХу так что tyxk всегда переходит в — Из столбца 6 таблицы V [2] следует, что эта функция преобразуется по «штрихованному» представлению. Операция C^x (поворот на 180° вокруг оси у или г) также переводит я|ь* в — ipjc*. Таким образом, выбор ограничивается двумя представлениями: Хз или Xa. Окончательный выбор определяется замечанием, что преобразование 2C2 — вращение вокруг осей j+k или /—6—- переводит функцию tyXk в —tyxk. . Отсюда следует, что искомое представление есть Х\.
Рассмотренный только что пример иллюстрирует ряд пунктов теории пространственных групп — обозначения, использование таблиц характеров, простейший случай «совместности» представлений. Ограничение только симморфными кубическими группами чрезвычайно упростило задачу. Несимморфные группы подробно и с примерами рассмотрены в работе [3]. Два других важных обобщения связаны с учетом симметрии относительно инверсии времени (гл. 16 и [3]) и с представлениями двойных кристаллических групп [4].
Литература
1. G. F. Koste г, in «Solid State Physics», Vol. 5, New York, 1957, p. 173.
2. L. P. Bouckaert, R. Smoluchowski, E. P. Wigner, Phys. Rev. 50, 58 (1936). (См. перевод в этом сборнике, статья № 4.)
3. С. Herring, J. Franklin Inst. 233, 525 (1942). (См. перевод в этом сборнике, статья № 10.)
4. R. J. Elliott, Phys. Rev. 96, 280 (1954). (См. перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, 1957, статья JNTs 46.)
ЧАСТЬ V
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
ГЛАВА 16
ИНВЕРСИЯ ВРЕМЕНИ
Классические уравнения механики и электродинамики — второго порядка по времени и, следовательно, инвариантны относительно простой замены / на —/. С другой стороны, уравнение Шредингера — первого порядка, и на первый взгляд могло бы показаться, что оно не имеет аналогичной простой симметрии. Вместе с тем в отсутствие внешнего магнитного поля все гамильтонианы атомных (или большего размера) систем на самом деле инвариантны относительно инверсии времени. Можно подозревать, что эта дополнительная симметрия приведет к дополнительному вырождению. Впервые эта проблема была подробно изучена Вигнером [1]. Не будучи в состоянии придумать другую трактовку вопроса, ограничимся здесь просто сводкой результатов [1].
В классической физике при инверсии времени координаты не меняются, а импульсы, равно как и компоненты момента количества движения, меняют знак. В квантовой механике оператор, производящий такое преобразование, называется оператором инверсии времени. Вигнер [1] показал, что для частиц со спином, равным нулю (или для четного числа электронов), это есть просто оператор комплексного сопряжения. С другой стороны, для частиц со спином V2 это есть произведение оператора, переводящего пространственную часть волновой функции в комплексно сопряженную с ней величину, на оператор ioy> где оу—матрица Паули. Оператор комплексного сопряжения нелинеен и поэтому выходит за рамки нашей теоретико-групповой трактовки. Легко показать, однако, что если гамильтониан системы инвариантен относительно инверсии времени, то, подвергая названному преобразованию некоторую вырожденную систему его собственных функций, мы получим другую систему собственных функций с* той же степенью вырождения. Пусть исходная система функций преобразуется по представлению Г группы пространственной симметрии гамильтониана. Тогда новая система будет преобразовываться по комплексно сопряженному представлению Г*. Спрашивается теперь, будет ли новая система функций линейно независимой о г старой? Если нет, то никакого нового вырождения
