Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
*) Речь идет о векторе трансляции в строгом смысле слова: рассматривается преобразование трансляционной симметрии обратной решетки.
**) Строго говоря, это есть первая зона Бриллюэна; разъяснение термина ся-я зона Бриллюэна» можно найти в любом хорошем учебнике по физике твердого тела.
г Л 13]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП
119
жала одно и только одно значение k для каждого неприводимого представления группы трансляций.
В любой решетке Браве объем, приходящийся на один узел, —один и тот же как в примитивной, так и в симметричной ячейке. Отсюда явствует, что мы можем установить однозначное соответствие между точками той и другой ячейки. Это достигается подходящим выбором векторов решетки или, в случае расширенной обратной решетки, выбором векторов Kj [уравнение (13.10)]. На рис. 13.1 показано, как это делается в случае квадратной двумерной решетки.
(L) 6)
Рис. 13.1. Перераспределение векторов k в случае двумерной квадратной решетки. См. текст.
Волновые векторы из различных областей, заштрихованных на рис. 13.1, а, переводятся в первую зону Бриллюэна (рис. 13.1,6), если в правую часть (13.9) подставить следующие векторы:
площадь А: /С/ = 0; площадь В: К/ =— Щ~ї*
площадь С: К} = — {і + /'); площадь D: K1 = —Щ-і.
Точка, расположенная на участке С и обозначенная через А', в обоих случаях соответствует одному и тому же неприводимому представлению. Более того, точка, обозначенная на рис. 13.1,6 буквой X', также соответствует тому же представлению, что и точка X. Именно этой избыточности и следует всегда избегать. Частный пример ее (не всегда очевидный) являют нам эквивалентные точки на границах (ребрах и гранях) зоны Бриллюэна (эти точки разделены вектором обратной решетки Kj). На рис. 13.1,6 мы отметили это, обозначив половину границы
120 ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ {Ч. IV
ГЛАВА 14
«КВАЗИЧАСТИЦЫ»*)
Основываясь на изученных в предыдущей главе свойствах циклических групп, мы можем теперь с единой точки зрения рассмотреть ряд известных возбуждений «волнового типа» в твердом теле. При этом выявляются общие их черты. Для иллюстрации универсальности нашего метода рассмотрим с его помощью четыре типа возбуждений довольно различной природы, а именно: блоховские электроны, фононы, экситоны Френкеля и спиновые волны (магноны).
14.1. Электроны Блоха
В хорошо известном приближении одноэлектронные волновые функции в решетке представляют собой собственные функции блоховского гамильтониана
Яо = -^-+К(г). (14.1)
Здесь V(г) — периодический потенциал: V (г — Rp) = V(r)y где Rp — основной вектор решетки. В учебниках по физике твердого тела доказывается, что оператор трансляции %р коммутирует с H0 и что собственные функции гамильтониана H0 по этой при- „ чине одновременно представляют собой и собственные функции оператора Зр:
__Зр*«* (г) = С*Ъп* (г). (14.2)
*) Авторы употребляют термин «solid state „particles"», что буквально означает «„частицы" в твердом теле». В переводе избран термин, более употребительный в отечественной (и иностранной) литературе. — Прим. ред,
пунктирной линией. Только половине граничных точек отвечают совершенно различные неприводимые представления; аналогичные соображения справедливы и для граней трехмерных зон. Более подробно этот вопрос рассматривается в работе [2].
Литература
1. Е. Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, ИЛ, 1961, гл. 16.
2. L. P. Bouckaert, R. Smoluchowski, Е. P. Wigner, Phys. Rev. 50, 58 (1936). (См. перевод в этом сборнике, статья № 4j
ГЛ. 141
«КВАЗИЧАСТИЦЬЬ
121
Собственные значения Ck равны e~l ' P9 где fe — вектор обратной решетки, свойства которого рассматривались в гл. 13. Равенство (14.2) можно переписать в виде
(г - Rp) = e-ikRp^nk (г). (14.3)
Умножив обе части (14.3) на ехр[—ik- (г — Rp)], получим важное соотношение
e~ik' (r-RpHnk{r-RP) = e-ikr^nk{ry (14.4)
Отсюда следует, что оператор трансляции %р не изменяет*) функцию е~lkr^rk(r) =unk (г), т. е. она «периодична с периодом решетки». Итак, мы пришли к знаменитой теореме Блоха, согласно которой собственная функция уравнения (14.1) имеет вид
q>nk(r)=ei*runk (г). (14.5)
Здесь и — функция, периодическая с периодом решетки.
Желая получить этот результат с помощью теории групп, мы должны были бы рассуждать следующим образом. Согласно главам 4 и 13 собственные функции гамильтониана H0 преобразуются по неприводимым представлениям группы трансляций, отвечающей данной решетке Браве. С помощью проекционного оператора (4.38) можно выделить функции такого типа из любой произвольной функции <t> (г). На месте Ф (г) может оказаться точная (но неизвестная) собственная функция задачи или функция нулевого приближения (если пользоваться методом возмущений), или, наконец, просто пробная функция, используемая в вариационном методе. Во всех случаях нам надо лишь рассмотреть выражение
Ф* = Oi'ftr) = (14.6)
= і%Г*(%УР(%)Ф(г)= (14.7)
р
= ^5>"Я'*(г-*Р)= (14.8)
P
=[i Ъе~'Л{г~*р) * (' - *р>] • <14-9>
