Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Тем самым теорема Блоха доказана. Действительно, в применении к выражению в квадратных скобках трансляция на любой из основных векторов сводится просто к перестановке слагаемых под знаком суммы; результат от этого не изменяется.
*) Мы имеем в виду преобразование P (?) / (г) = / ($р V) = / (г - Rp).
122
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Ч fV
Функцию, заключенную в квадратные скобки, можно обозначить через и„ь(г).
Читатель легко заметит, что выражение (14.8) есть по виду не что иное, как хорошо известная функция Блоха для почти связанных электронов (с точностью до нормировки, о которой при работе с проекционными операторами всегда надо заботиться особо). Функции такого типа возникают, например, когда в качестве ф{г) выбирают локализованную атомную функцию.
14.2. Фононы, экситоны и магноны
На рис. 14.1 изображены три типа локализованных возбуждений, которые могли бы возникнуть в простом твердом теле. Рис. 14.1, а: смещение атома в некоторой произвольной точке
а)-.-.-—---•-—-•-—
6) -
« MMtMIM
Рис. 14.1. Три типа локализованных возбуждений в твердом теле, а) Атом, находящийся в точке Rq, смещен из положения равновесия; б) атом, находящийся в точке Rq, возбужден; в) спин атома, находящегося в Rq, перевернут по сравнению со спинами всех остальных атомов
Rq\ это — действительно возбуждение, ибо оно требует энергии
~2 Kw2qi где /(—некоторая эффективная силовая постоянная, а
W9 — величина смещения. Рис. 14.1,6: атом, расположенный в точке Rq, переведен в возбужденное состояние; энергия возбуждения равна E0 + 8E1 где E0— «атомная» энергия возбуждения, ^ а oE — поправка, учитывающая влияние соседних атомов. На рис. 14.1,в изображен одномерный*) ферромагнетик. В точке
*) Как известно, в строго одномерной системе ферромагнетизм невозможен: основное состояние, соответствующее рис. 14.1,6, неустойчиво. Это обстоятельство, однако, ничего не меняет в дальнейших рассуждениях, которые сохраняют иллюстративную ценность и легко переносятся на трехмерный случай. — Прим. ред,
ГЛ. 141
«КВАЗИЧАСТИЦЫ»
/23
Rq спин атома перевернут. Для этого необходима энергия 4/, где J в простейшем случае есть интеграл прямого обмена между ближайшими соседями.
Если кристалл идеален (например, если атом в точке Rq до возбуждения ничем не отличался от остальных), то каждое из этих состояний a priori нестационарно. Физически это очевидно,
если заметить, что той же энергией (jfKw2q} E0 +6Е или 47)
обладало бы и возбуждение, связанное с любым другим атомом, расположенным в другой точке кристалла. Следовательно, наша система N атомов .V-кратно вырождена. В результате, если между различными атомами имеется какое-нибудь взаимодействие, начнется миграция энергии возбуждения. В конце концов возникнет стационарное состояние, в котором возбуждение будет проводить на каждом атоме XjN часть всего времени.
Очевидно, условие трансляционной симметрии кристалла следует явно принять во внимание при расчете. На языке теории групп это означает, что из функций, описывающих локализованные возбуждения, надо выделить возбуждения волнового типа. Обозначим их общим символом Ar^
а) wq
б) ®nRq = аФо {Г\ - Rl) Фо (Г2 -R2) ... Фп (fq - Rg)
в) SR =?(ai)?(a2)...aK)...
Здесь а и ? — обычные спиновые функции, отвечающие, соответственно, ориентациям спина «вверх» и «вниз»; функции и фп описывают основное и возбужденное электронные состояния атома (в простейшем случае, когда на каждый атом приходится по одному электрону). Оператор
обеспечивает антисимметризацию фермионных волновых функций (см. гл. 7). Функция, преобразующаяся по неприводимому представлению Г* группы трансляций, имеет вид
Л (A) = VlV ОІ' А% = ^=г 2 eikRn P (3Р) Ая. (14.10)
P
МножительYN введен для удобства, ибо обычно он обеспечивает правильную нормировку функции (14.10).
124
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Ч. IV
Обсудим теперь смысл оператора Р(^р), Ясно, что в случае (б) этот оператор переводит возбуждение из узла Rq в Rq+Rp:
P(V®n, rg =
= <KJ>o(ri-Ri-RP)<f>o(r2'
• R2-Kp)... Фп(гя-Ид-Яр)... =
> . Фп (Гя+р ~ (Rp + Rg) ) . . . = Фп, rq+rp.
(14.11)
В колебательном (а) и спиновом (в) случаях оператор Р(%) следует определять более аккуратно. Для случая (а) такой оператор был построен Вигнером в работе, переведенной в настоящем сборнике (статья № 2). Как и в случае (б), оператор PQp) просто переводит смещение w из Rq в точку Rq+Rp. Действие оператора Р(\) на функцию Sr^ сводится к переносу
перевернутого спина из узла Rq в узел Rq+Rp. В результате во всех трех случаях получаются возбужденные состояния, волновые функции которых преобразуются по неприводимому представлению Г* группы трансляций:
wk = y=r^etk RPwp (фонон);
фпи = -pLr 2] elk нр OnR (экситон Френкеля);
S^YW^eikRpSRn (магнон).
(14.12)
Каждая из этих функций есть частный случай (14.10). Для удобства положим Rq = 0. Функции (14.12) нормированы, если ортонормированы волновые функции, описывающие локализованные возбуждения; в принципе это всегда можно обеспечить [1]. Динамика этих квазичастиц описана в большинстве учебников по физике твердого тела, и мы, естественно, не будем здесь на ней останавливаться. В заключение еще сделаем несколько „ замечаний.
