Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
1. Никакое возмущение, обладающее полной трансляционной симметрией решетки, не может привести во взаимодействие возбуждения с неэквивалентными (но лежащими все же внутри зоны Бриллюэна) значениями вектора k. Этот вывод следует из общих теорем главы 4. Он справедлив даже для матричных элементов операторов взаимодействия между различными типами
гл. 14]
<КВАЗИЧАСТИЦЫ»
125
возбуждения. О волновых функциях указанного типа говорят, что они не зацепляются.
2. Волновые функции возбуждений с одинаковыми значениями вектора k в принципе могут (хотя и не обязаны) зацепляться под действием каких-либо возмущений указанного типа. Отметим, что мы совершенно не касались здесь вопроса о «внутренних квантовых числах» частиц. Колебания могут обладать любой из трех поляризаций, возбуждения могут быть связаны с любыми возбужденными атомными состояниями, локализованные спины могут принимать значения S>]/2- Соображения, связанные только с трансляционной симметрией решетки, ничего не дают для дальнейшей процедуры выделения независимых возбуждений (см. гл. 15).
3. Диагональный элемент гамильтоновой матрицы изящно вычисляется с помощью общей теоремы о проекционных операторах (4.46). Именно, вычислим матричный элемент
(Л(й), HЛ (ft')) = N(Oi1A^9 //OlU^). (14.13)
Воспользуемся формулой (4.46), полагая F = AR , F' = HAR
H/7 = ^ = r = s= l. В результате получаем (для простоты положим Rg = 0)
(A (ft), НА (ft7)) = Nbk*> (Ло, OkHA0) =
= okk>%eik'*p(A0, HARy (14.14) р
Это есть общий вид закона дисперсии для всех квазичастиц в решетке. Величина (Ло, HAR ) описывает взаимодействие, приводящее к перескоку возбуждения из точки /?=0 в точку Rp. В случае фононов это есть элемент динамической матрицы, связывающий атомы, расположенные в указанных точках. В случае экситонов это — интеграл переноса (или обменный интеграл); для магнонов — обменный интеграл. Подчеркнем еще раз, что частицы могут характеризоваться еще и внутренними квантовыми числами, набор которых мы обозначим индексом К. Тогда наш результат следует обобщить на предмет учета различных зон и их связи друг с другом:
(Лл(й), ЯЛя,(*,)) = б^ 2(4, НА%\ (14.15)
р р
4. Трансляционное правило отбора. Взаимодействие, о котором шла речь в пунктах 1 и 2, определялось матричными элементами гамильтониана, обладавшего полной трансляционной симметрией решетки. Пользуясь обобщенным правилом отбора
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(ч. iv
(гл. 4), получим теперь правило отбора, хорошо известное в теории твердого тела. Именно, рассмотрим матричный элемент
(г|*, Af/iM. (14.16)
Здесь нижние индексы означают, что соответствующие величины обладают определенными свойствами трансляционной симметрии, описываемыми волновыми векторами ft, ft'. Обычно в качестве^ и фигурируют волновые функции электронов, a Mf есть гамильтониан электрон-фононного взаимодействия. Из обобщенного правила отбора следует, что выражение (14.16) равно нулю, если прямое произведение Г* X Г/ X Г*' не содержит тривиального представления Го. Пользуясь выражением (13.7) и таблицей характеров, приведенной в гл. 13, можно показать, что это сводится к условию
euf+*~kr*p = i
для всех Rp. Последнее возможно, только если
k'=f+k+K}, (14.17)
где вектор Kj дается выражением (13.10). Таким образом, в элемент (14.16) входит множитель
2 6(ft'-ft-/-К,). (14.18)
Физические процессы, описываемые выражениями с КуфО, называются процессами переброса.
Л итература
1. Р. О. L о wd in, Adv. Phys. 5, 1 (1956).
ГЛАВА 15
КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
Ряд основополагающих работ по теории пространственных групп включен в настоящий сборник, и мы не будем здесь даже пытаться дать общий обзор предмета. Вместо этого мы ограничимся задачей об объединении условий точечной и трансляционной симметрии, рассмотренных в предыдущих главах. В работе [1] дан очень ясный и полезный общий обзор пространственных групп и их представлений, и мы настоятельно рекомендуем читателю познакомиться с этой статьей.
Г Л J5) КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 127
15.1. Свойства пространственных групп
Пространственной группой называется множество преобразований, оставляющих решетку инвариантной, причем названные преобразования не ограничены только чистыми трансляциями или чистыми вращениями. Пусть новая система координат, г\ связана со старой, г, соотношениями
х' = а,,* + щ2у + «із* + tx,
у' = O21X + а22у + а23г + ty, (15.1)
г' = a3lx + а32у + Ct33Z + tz
или, для краткости,
r' = ar+f. (15.2)
Пусть, далее, в обеих системах координат кристалл имеет один и тот же вид. Тогда преобразование, задаваемое символами а и /, входит в пространственную группу данного кристалла. Обычно считают, что трансляции подчинены циклическим граничным условиям Борна — Кармана. Такое преобразование принято обозначать символом {a\t}. Соответственно соотношение (15.2) можно переписать в виде
r'={a|f}r=ar+f. (15.3)
Легко убедиться в справедливости соотношений
