Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
136
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
[Ч. v
не появляется. Если да, то симметрия относительно инверсии времени приводит к возникновению нового вырождения.
Мы просто укажем, что здесь имеются три различных случая.
Возможности:
а) Представление Г может быть преобразовано к вещественному виду.
б) Представления Г и Г* неэквивалентны.
в) Представления Г и Г* эквивалентны, но не приводятся к вещественному виду.
Результаты в этих трех случаях получаются существенно различными. Следствия:
1. При четном числе электронов (или в пренебрежении спином):
а) Нет дополнительного вырождения.
б) Представления Г и Г* реализуются одновременно и между ними возникает дополнительное вырождение.
в) Имеется дополнительное вырождение.
2. При нечетном числе электронов (со спином):
а) Имеется дополнительное вырождение.
б) Представления Г и Г* реализуются одновременно и между ними возникает дополнительное вырождение.
в) Дополнительного вырождения нет.
Существует простой способ, позволяющий определить, к какому из трех случаев относится данное представление. Именно, как можно показать,
2 X(R2) = g в случае (а),
R
2 X (Я2) = 0 в случае (б), (16.1)
я
2 X (Я2) = — g в случае (в).
r
Здесь символ R нумерует все элементы группы пространственной симметрии, X — характер рассматриваемого неприводимого представления, a g" — порядок группы. Херринг [2] исследовал условия (16.1) в применении к пространственным группам. Для неприводимого представления, соответствующего заданному вектору fe, эти условия принимают вид
2x(Qo) = g* в случае (а),
Qo
2 X(Qo) = O в случае (б), (16.2)
Qo
2 X(Qo) = — gk в случае (в).
Со
ГЛ. 16]
ИНВЕРСИЯ ВРЕМЕНИ
137
Здесь через Qo обозначен элемент пространственной группы, переводящий вектор k в —ky а через gk — порядок группы волнового вектора k. Поскольку преобразование Qo входит в названную группу, для вычисления левых частей (16.2) можно использовать таблицу ее характеров.
Эллиот [3] показал, как использовать таблицу характеров группы волнового вектора для решения вопроса об эквивалентности данного неприводимого представления пространственной группы своему комплексно сопряженному. Обозначим через X и х* характеры некоторого неприводимого представления и представления, комплексно сопряженного с ним. Тогда
хЧ{*\*)) = 1х({*\*})Ге»-*. (16.3)
В качестве простого примера применения этих рассуждений к точечным группам рассмотрим атом с квантовым число.м / = гі2 или / = 5/2 в кристалле симметрии D3. Характеры этой точечной группы (включая и двузначные представления) даны в табл. 16.1. Простая арифметическая выкладка показывает, что
Таблица 16.1. Таблица характеров группы D3*)
E
E 2C3
2C3
3C2
3C2
г, г2
1 3
1 1
2
1 1
1 1
2 -1
1 1
-1
1
-1 0
1
-1
0
Г4 1-11 -1 / -/
Г5 2-11 -1 -і і
Гв 2-2-1100
*) Двузначные представлення расположены ниже пунктирной линии.
представления ГЬГ2 и Г3относятся к случаю (а), Г4, Г5 —к случаю (б), а Г6 —к случаю (а). Пользуясь методами главы 10, находим, что волновые функции состояний с / = 3/2 и / = 5I2 преобразуются, соответственно, по представлениям
D(,/8) = r4 + Г5 + Гб (16.4)
и
/)№ = Г4 + Г5 + 2Гб. (16.5)
При составлении таблиц принято соединять скобками комплексно сопряженные представления, относящиеся к случаю (б),
специальные главы
ГЧ v
например Г4 и Г5 в табл. 16.1. Они всегда встречаются вместе, как вырожденная пара. Часто говорят о них так, как если бы они образовывали одно двумерное представление. Состояния с квантовым числом / = 3/г или 5I2 могут реализоваться только при нечетном числе электронов. В обоих случаях представления Г4 и Г5 в правых частях (16.4) и (16.5) образуют дублет. Представление Г* в правой части (16.4) — двумерное; оно относится к случаю (а), когда добавочного вырождения нет. В правой части (16.5) каждое из двух представлений Гб отвечает дублету и между этими дублетами вырождения может и не быть.
Литература
1. Е. P. Wigner, Nachricht. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl., 1932, p. 546. На этой статье основана гл. 26 книги Е. Вигнера «Теория групп и ее приложения к квантозомеханической теории атомных спектров», ИЛ, 1961.
2. С. Herring, Phys. Rev. 52, 361 (1937). (См. перевод в этом сборнике, статья № 7.)
3. R. J. Elliott, Phys Rev. 96, 280 (1954). (См. перевод в сб. «Проблемы физики полупроводников», ИЛ, 1957, статья N° 46.)
ГЛАВА 17
ЭФФЕКТ ЯНА —ТЕЛЛЕРА
Для чтения этой главы необходимо серьезное знакомство с теорией малых колебаний. Мы будем также считать, что читатель имеет представление а) о теоретико-групповом подходе Вигнера [1] к рассмотрению нормальных координат, б) об адиабатическом приближении, используемом при решении уравнения Шредингера для системы взаимодействующих ядер и электронов.
17.1. Симметричные и асимметричные колебания
Любое нормальное колебание с симметрией Гі (т. е. колебание, система амплитуд которого полностью симметрична) не приводит к понижению симметрии молекулы. На рис. 17.1, а представлена воображаемая квадратная молекула, колебание которой имеет симметрию IY В любой заданный момент времени квадратная форма молекулы сохраняется. Рассмотрим, однако, другой возможный тип колебаний, показанный на рис. 17.1, б. В этом случае молекула представляет собой квадрат только в те моменты времени, когда все ее атомы проходят
