Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
0
0
0
• • •
0
Ef
(3)
О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 155
Таким образом, с матрицей (3) коммутирует любая матрица, у которой отличные от нуля элементы встречаются только на местах, соответствующих местам в выделенных квадратах. Если эта последняя матрица унитарна, то унитарными должны быть и матрицы, стоящие в выделенных квадратах.
Можно, следовательно, разделить собственные значения на группы, содержащие giy g2, ..., gf собственных значений (g \ + g2 + ... +'gf = я), так что все собственные значения в данной группе одинаковы; тогда число свободных параметров равно
n2 + f-g2-g\- ... -g2r
В произвольной эрмитовой матрице g\ = g2 = ... = gn = 1, и число свободных параметров равно
п2 + п— I2 — I2— 12 = /г2;
это же можно без труда показать и другими способами*). Но если два собственных значения совпадают, то gi = 2, ?2=^3= • .. .= gn_i = 1, и число свободных параметров равно
п2 + (п— I) — 22 — I2 —... —12 = /22 +(п— 1)—4 — (м —2) =
= я2 — 3.
Таким образом, например, для п = 2 свободен только один вещественный параметр, так как двукратно вырожденное собственное значение имеет только матрица
Следовательно, совпадения двух собственных значений, вообще говоря, можно добиться только при изменении трех параметров.
При рассмотрении вещественной эрмитовой матрицы предыдущие рассуждения почти не меняются; надо лишь заменить везде слово «унитарный» словами «вещественный ортогональный». Число свободных параметров вещественной ортогональной матрицы размерности п есть
1,1(,1-.1)-(2).
Таким образом, число свободных параметров в этом случае равно
__(;)"-(?)-(?)---(?)•
*) Имеется п вещественных диагональных элементов и -g-(/i —1)л комплексных недиагональных.
156
И. ФОН НЕЙМАН, Е. ВИГНЕР
Для произвольной вещественной симметричной матрицы это дает y/i(n + 1); если же есть одно двукратно вырожденное собственное значение, то мы получаем ^п(п+\) — 2. Следовательно, в данном случае добиться совпадения двух собственных значений можно, варьируя только два вещественных параметра.
При анализе структуры термов атомных систем собственные значения можно разделить на различные группы, каждая из которых характеризуется азимутальным квантовым числом, четностью и мультиплетностью. До тех пор, пока соответствующая симметрия не нарушена, ни один из термов одной группы ничего не «знает» о термах другой группы (см., например, [2]). Термы различных групп (характеризующиеся различными трансформационными свойствами) пересекаются друг с другом произвольным образом. Все термы большинства групп многократно вырождены. Условия симметрии обеспечивают тождественное равенство нулю достаточно большого числа отдельных матричных элементов. Таким образом, выражение «вообще говоря» здесь неприменимо, и такая ситуация не противоречит сказанному выше. Подобно тому как при теоретико-групповом рассмотрении термов «случайное вырождение» предполагается отсутствующим, мы можем предположить здесь, что не существует каких-либо соотношений, отличных от вытекающих из свойств симметрии системы. Другими словами, мы можем предположить, что внутри группы термов условия, оговариваемые словами «вообще говоря», всегда выполняются.
2. Облечем теперь проведенные рассуждения в количественную форму для случая двух соседних собственных значений. Воспользуемся теорией возмущений Шредингера*), в которой рассматриваются собственные функции и собственные значения оператора H + kV при возрастании параметра х и расстояние между соседними собственными значениями — скажем, Е\ и E2—по порядку величины предполагается равным хУцили nV22.
На рисунке представлена зависимость собственных значений от параметра к (сплошные линии). При этом, однако, прежняя
*) В данном случае она эквивалентна теории возмущений, развитой Борцом, Гейзенбергом и Иорданом.
О ПОВЕДЕНИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 157
(4)
(5)
(6)
мы получим обычным образом (приравнивая коэффициенты) следующую систему уравнений для Е\ (х):
(E - е + xu - E1 (х)) а, (х) + хб'а' (х) = О,
хи'а. (х) + (? + г + ко" - E1 (х)) а' (х) = 0. (?)
Приравнивая нулю определитель этой системы уравнений и замечая, что V = v/f в силу параллельности ?i(x) и ?2(х) при х = 0, мы получаем
E1 (х) - E + ж - |/е2+ x2|u' I2, (8)
?2 (х) = E + + /е2 + x21 о' I2. (8а)
Две кривые, ?i(x) и E2(k)1 представляют собой две ветви гиперболы. Наклоны асимптот равны, соответственно, v — Iu7I и 0+|u'|. Минимальное расстояние между ветвями составляет 2е. Оно удваивается при
поэтому определим «переходную область» как область ширины-
1 1 і— е
Лх между +у Ax и — у Лх, где Дх ^ 2 у 3 у^ту.
Собственные функции фі(х) и фг(и) в первом порядке теории возмущений даются линейными комбинациями функций ф и ф',
переменная х заменена на новую, х + с, выбранную так, что при х = 0 кривые становятся параллельными друг другу.
Пусть при х = 0 собственные функции фі (0) = г|? и <р2(0) = t|/ принадлежат собственным значениям ?i(0)=?— е и ?2(0) = = E + е. Положим
