Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
130
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
14. IV
3. Слово «обычно», употребленное в пункте (2), отражает тот факт, что иногда требуется и более общий подход. В частности, он нужен при рассмотрении правил отбора для переходов частицы из одной точки зоны в другую под действием возмущения соответствующей симметрии. Эта задача рассматривалась Лэк-сом и Хопфилдом и Лэксом в статьях, приведенных в настоящем сборнике (статьи №№ 16, 17).
15.3. Примеры
Рассмотрим простую кубическую решетку. Соответствующая зона Бриллюэна есть куб с длиной ребра 2я/а; вершины
его расположены в точках (я/а, 0, 0) и т.д. (рис. 15.1). Любую точку (kX9 0,0) при kx < я/а принято обозначать буквой А; точку (0,0,0) —буквой Г; прочие обозначения указаны на рисунке. Звезда волнового вектора Г содержит одну точку, звезда вектора Д — шесть, звезда вектора X — три точки (в последнем случае следует помнить о необходимости исключить точки, эквивалентные уже найденным).
В некоторых случаях можно пользоваться приближением сильно связанных электронов. При этом задача состоит в вычислении первого приближения для собственных значений гамильтониана
р
В качестве пробных волновых функций берутся выражения
+"* = JW S є""*"*?™* (' - Rp). (15.12)
p
В дальнейшем мы будем опускать обозначение «атомный», считая, что волновые функции, связанные с различными узлами решетки, взаимно ортогональны. Это не приведет к ограничению общности рассуждений, связанных с соображениями симметрии. Будем также отбрасывать все слагаемые, содержащие координаты более двух различных узлов решетки. В этом приближении
*2
Рис. 15.1. Зона Бриллюэна для простой кубической решетки. Указаны обозначения некоторых волновых векторов. Так, любая точка на прямой (110) обозначается через 2, за исключением ребер куба; в последнем случае используется буква /С.
ГЛ 15] КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП \3\
находим
(ifciA, H$n'k>)=6kt>[tnOnn' + Vnn'+ E ^*»'(*р)]. (15.13)
Здесь гп — собственное значение энергии, принадлежащее волновой функции фп — собственной функции гамильтониана р2/2т -н + 1/(г). Далее,
vnn>=j Фп(гУ S V(r-Kp)fAr)dr (16.14)
и
Wi^ = J *я W К (г - Д„) *V (г - Jf11) dr. (15.15)
Применим теперь развитую выше теорию пространственных групп к волновым функциям (15.12) в простом кубическом кристалле. Группа волнового вектора А есть не что иное, как группа
Рис. 15.2. Схематическое представление функций типа р в точке Л в приближении сильно связанных электронов.
симметрии квадрата. Характеры ее даны в табл. II работы [2]. В приближении сильной связи «волновая функция s-типа» в точке А имеет вид
^b = YW^AelkxXp *s(r-R„). (15.16)
P
Выражение (15.16) не изменяется ни при каких преобразованиях названной группы. Как мы знаем, элементы последней оставляют волновой вектор к неизменным. Иначе говоря, все преобразование сводится просто к перестановке слагаемых с одним и тем же значением Хр, t'-компоненты вектора Rp. Из таблицы характеров видно, таким образом, что ys* может быть только функцией типа Ai.
Обратимся теперь к волновым функциям /?-типа. Существуют три пробные функции с нужными свойствами. Полезно указать относительную ориентацию волновых векторов к и этих функций (рис. 15.2). Обозначая через фх атомную функцию типа х и т. д.,
а*
132
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Ч. IV
получим
р P
(15.17)
Все соображения, высказанные при рассмотрении 5-функций, справедливы и в случае функций типа рх. Действительно, ни один из элементов группы волнового вектора А не может изме-
нить х-компоненту любой векторной величины. Таким образом, •U)x* есть функция типа Ai (она может зацепляться за \|)s*!). Функции ^иы и требуют более тщательного исследования. Применяя к ним преобразования С\ (поворот на 180°), видим, что при этом меняются знаки всех атомных функций (это сразу вытекает из табл. II работы [2]). Таким образом, функции tyyk и i^* не могут преобразовываться ни по какому из имеющихся в данном случае одномерных ' а л представлений. Легко установить, что
Рис. 15 3. Типичные кри- фактически эти функции —партнеры в вые для энергии 5- и представлении As и, следовательно, при-р-зон. Волновой вектор надлежат двукратно вырожденной зоне
мєняєтся вдоль оси (100) " /1лл\ л
(в приближении сильно в направлении (100). Они не зацепляют-связанных электронов), ся ни друг за друга, ни за любую из
функций типа Ai. Все эти выводы можно проверить и путем прямого вычисления матричных элементов (15.13). В приближении ближайших соседей отличными от нуля оказываются только следующие матричные элементы:
(i|)sa, Htysk) = es + V5s + wss(ау 0, 0)[4 + 2coskxa] .A1
(iM, H^xk) = 2iwsp {a, 0, 0) sin kxa
(г|>**, H^xk) = ep + Vxx + 4wxx (0, 0, a) + 2wxx(ay 0, 0) cos kxa :Aj
«w. Яфг.) j - 8P + °« + 21*« (°. °> «) + (a, 0, 0)] +
+ 2wxx (0, 0, a) cos kxa. :A.,
ГЛ. 15] КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 133
Диагональные элементы гамильтоновой матрицы схематически показаны на рис. 15.3. Заметим, что собственные значения, принадлежащие функциям типа Ai и Дг, совпадают в точке Av = 0. Это не случайное вырождение. Дело в том, что группа волнового вектора ft=0 значительно более широкая. Она содержит и трехмерное представление Гі5; индекс «15» выбран так, чтобы подчеркнуть связь этого представления как с Ai, так и с A5. Функции типа рХу ру, рг образуют базис представления Г15. Мы имеем здесь частный пример взаимосвязи между представлениями в различных точках зоны Бриллюэна. Исследование всех проблем такого типа выполняется с помощью «условий совместности», рассмотренных в работе [2].
