Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
КI *'} {a 11) = Ka | a't + *'}, (15.4)
{a I tyx = (0-11-сг1*}. (15.5)
Очевидно, тождественный элемент есть {EI О}, где E — единичная матрица.
Группа трансляций кристалла представляет собой подгруппу преобразований вида {E\RP} = свойства их рассматривались в гл. 13 и 14. Легко показать, что это есть инвариантная подгруппа.
Точечная группа кристалла есть совокупность вращений а, входящих в элементы пространственной группы. Отметим, что в принципе могут существовать вращения а', которые всегда встречаются в сочетании с {а'|/'}, причем символ V не отвечает сдвигу на основной вектор решетки. Такие вращения, по определению, принадлежат точечной группе, однако элемент {а'|0} не входит в пространственную группу кристалла. Следовательно, надо соблюдать известную осторожность при определении элементов группы вращений, оставляющих неизменным окружение того или иного атома или междуузлия в решетке. Эта
128 ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ [Ч. IV
P ({<*11)) гМ И = *«* ({<*I 'Г1 г) = (15.8)
= eika~)runb(r)'= (15.9)
= е№"ип{*ьЛг)". (15.10)
группа, вообще говоря, не совпадает с точечной группой кристалла.
Вращения а, образующие точечную группу, далеко не произвольны. Даже в рамках нашего более общего определения точечной группы можно показать (см. гл. 9), что эти преобразования (собственные или несобственные) могут включать только повороты на углы 0°, 60°, 90° (или на кратные им). Это ограничение возникает из-за трансляционной симметрии решетки. Важность его можно почувствовать, попытавшись построить двумерную решетку Браве, которая совпадала бы сама с собой при повороте на 45°. Разумеется, можно построить решетку, единичные векторы которой расположены под углом 45°, но ни одно из преобразований {a\t} пространственной группы не может содержать поворот на 45°.
Симморфными называются пространственные группы, все элементы которых имеют вид {а|/?р}, где Rp — основной вектор решетки. Существует только 73 симморфных и 157 несимморф-ных пространственных групп. Элементы последних имеют вид {а|/?р + г>(а)}, где вектор v(a) отличен от нуля по крайней мере для одного вращения точечной группы.
15.2. Неприводимые представления и базисные функции
Рассмотрим функцию $пь—базисную функцию неприводимого представления трансляционной группы кристалла. Запишем ее в блоховской форме:
^nk=eik" Unk{T\ (15.6)
Желая получить неприводимые представления пространственной группы, мы должны были бы составить соответствующие базисные функции с помощью обычной проекционной техники:
4V=^- S Гу({"\*})иР({»\*})Ъп* (г)- (15.7)
Матриц Гу мы, вообще говоря, не знаем. Однако будь они даже известны, в правой части (15.7) появилась бы изрядная примесь функций, про которые мы уже знаем, что они не зацепляются в силу трансляционной симметрии. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующее слагаемое из суммы в (15.7):
ГЛ. 15] КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП 129
9 Р. Нокс, А. Голд
При выводе равенства (15.10) мы воспользовались только соотношением
k-a-[r = (aft) г.
Функции и' и и" введены лишь для того, чтобы не выписывать несущественные фазы и избежать громоздких обозначений. Эти функции неявно определяются равенствами (15.8)-(15.10). Они периодичны с периодом решетки. Видим, таким образом, что функция Wy будет, вообще говоря, содержать слагаемые, преобразующиеся при трансляциях в со-ответствии с волновым вектором aft, где a — любой элемент точечной группы. С другой стороны, мы знаем, что при акфк трансляционная симметрия исключает возможность зацепления
ФУНКЦИЙ ^n(CXk) И l|)nft.
Кажется, таким образом, что равенство (15.7) содержит слишком много информации и надо ограничиться суммированием только по тем элементам {?|f}, для которых ?ft=ft. Здесь мы намеренно воспользовались символом эквивалентности, а не равенства, дабы напомнить, что в тех случаях, когда ?ft отличается от ft на вектор обратной решетки Kj (13.10), мы имеем дело с одним и тем же неприводимым представлением группы трансляций. Определенные таким образом преобразования составляют подгруппу пространственной группы, именуемую группой вектора ft. Матрицы, элементы которых фигурируют в такой укороченной форме записи (15.7), задают неприводимые представления названной группы.
Рассмотренное упрощение, строго обоснованное Костером и другими авторами, приводит к ряду практических следствий.
1. Каждому волновому вектору ft в зоне Бриллюэна можно поставить в соответствие множество различных векторов {ft, аги, азй, ...}, где а,- — элементы пространственной группы. Это множество называется звездой вектора ft. Входящие в него волновые векторы частично нумеруют партнеров неприводимых представлений всей пространственной группы. Число векторов в звезде зависит от выбора исходного вектора ft и может изменяться от 1 до gp, где gp — порядок точечной группы.
2. Пользуясь теорией представлений в задачах, связанных с пространственными группами, обычно можно ограничиться одним лишь элементом звезды. При этом остаются в силе все стандартные теоремы; надо лишь рассматривать не всю пространственную группу, а группу волнового вектора ft и ее неприводимые представления. (Напомним, что элементы этой группы имеют вид {?|f}, где ?fc==fc.) Можно утверждать при этом, что всем членам звезды соответствует одно и то же собственное значение энергии.