Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛГ//-1. (13.1)
Следовательно, величина Tv(Tj) может принимать любое из значений корня Nri\ степени из единицы*):
\\{Ti) = e"2nixlNi (v = 0, 1, 2, .... N1-X). (13.2)
В таблице мы уже положили Го(Fj) = 1. Остается лишь показать, что оставшиеся Nj—1 значений корня также можно использовать для построения неэквивалентных неприводимых представлений. Читателю предоставляется в качестве упражнения самому убедиться в выполнении различных условий ортогональности и критериев неприводимости, рассмотренных в гл. 4. Окончательная сводка неприводимых представлений и их характеров дана в табл. 13.1. Произвольный элемент таблицы,
Таблица 13Л. Представления (или характеры) циклической группы порядка Af/
Неприводимое представление
Классы
E
7V
TNr\
Г0
г,
I 1
1
-2JiIfN1 е 1 е
1
-4Л//ЛГ,
... 1
1
+ 2JIiIN, . Є '
1
- 2JIiVlN,
е 1 е
- inivfN у
^-2піп^Ш і
+ 2JIiVlNj • Є 1
1
. . .
. . .
. . .
-2JIiINf Є '
находящийся
в v-M ряду
и Mj-M столбце, имеет вид
>
)=?-Ч2яу/"/)"/в
(13.3)
*) Знак минус в экспоненте выбран для удобства, ибо он приводит к обычной форме записи проекционного оператора Фактически этот выбор, конечно, никак не влияет на какие-либо математические или (Ьизические выводы.
ГЛ. 131
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП
117
Этот характер можно переписать в гораздо более привычном виде, если вспомнить, в связи с какими физическими объектами мы пришли к изучению циклических групп. Целое число ft, связано с трансляцией, например, в направлении оси х, Xj = tijCij; обозначив величину 2nv/NjCLj через мы имеем
X,(Г?/)-є"'*/*/. (13.4)
Каждому значению v соответствует определенное значение k$. Последняя величина, очевидно, представляет собой не что иное, как волновое число, связанное с данным возмущением в периодической решетке. Теперь она появляется совершенно формально как обозначение одного из неприводимых представлений группы трансляций. Хотя в большинстве физических задач это —явно не самый удобный способ ввести волновое число, он тем не менее удобен, ибо напоминает о важном математическом значении числа kj (или, как будет показано ниже, всего волнового вектора k). В пустом пространстве (в решетке с исчезающе малой постоянной) вектор k превращается в обычную непрерывную величину.
13.2. Применение к теории твердого тела: первая зона Бриллюэна
В трехмерном случае произвольный элемент группы трансляций определяется формулой (12.4). Трансляции по всем трем направлениям производятся независимо, и преобразования T2 и T3 никак не связаны друг с другом. Поэтому равенство (12.4) надо рассматривать как определение элемента новой группы, представляющей собой прямое произведение трех трансляционных групп (см. табл. 1.2, пункт 17). Можно показать [1], что неприводимые представления такой группы получаются как прямые матричные произведения неприводимых представлений отдельных групп — сомножителей. В случае одномерных представлений эту операцию легко выполнить явно, и мы получаем
rVlv,v, (X) = rv, (П) rv, (it) rV3 {n) = e~2nl U + + *J. (I3<5)
Здесь каждое из чисел v, пробегает все значения от 0 до Nj— 1. Очевидно, мы построили группу порядка N=NiN2N3 с N классами и W неприводимыми представлениями. Числа пи n2t п3 определяют трансляцию (12.1). Поэтому, по аналогии с разделом 13.1, удобно ввести вектор
»-2*^*,+ ?*,+ ??}. (13.6)
113
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[Ч. IV
Здесь векторы &х по определению удовлетворяют соотношениям •Au=OXiA. Вектор (13.6) можно использовать для обозначения неприводимого представления {v]V2V3}. Это существенно упрощает выражение (13.5) для характера элемента R:
Ы*р) = М*р) (13.7)
Векторы Ьк однозначно определяются указанными выше равенствами и даются выражениями
6*"«?«XxV« ¦ >*' v = '* 2' 3' цикл)- (13-8)
К І її V/
Они определяют решетку Браве, именуемую обратной. В общем случае она отличается от решетки, задаваемой векторами a ^ Согласно (13.6) область изменения компонент k есть параллелепипед той же формы, что и примитивная ячейка обратной решетки, но с размерами, увеличенными в каждом направлении в 2я раз. Соответственно объем названного параллелепипеда в (2я)3 раз больше объема элементарной ячейки обратной решетки.
Фактически выбор области, в которой изменяются компоненты вектора fe, более произволен, чем мы до сих пор полагали. Дело в том, что характер %k(R) остается неизменным, если к вектору k добавить любой вектор трансляции *) обратной решетки, умноженный на 2я:
k-+k + Kh (13.9)
где
#0 = 2я(/,&,+/2*2 + /з6з), (13.10)
а ]\ — целые числа. Эту значительную неопределенность обычно превращают в достоинство. Именно, вместо параллелепипеда, построенного на векторах k (13.6), мы можем ввести соответствующую симметричную ячейку, построенную по схеме гл. 12. Надо лишь помнить, что сейчас мы имеем дело с обратной решеткой, и поэтому все линейные размеры следует увеличить в 2я раз. Построенная таким образом область пространства обратной решетки называется зоной Бриллюэна**). Основное требование, предъявляемое к ней, состоит в том, чтобы она содер-
