Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
4. F. H u n d, Z. Physik 52, 601 (1928).
5. F. London, Z. Physik 46, 455 (1928).
6. F. London, Sommerfeld Festschrift, p. 104, S. Herzel, 1929.
2
Е. ВИГНЕР
ОБ УПРУГИХ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМ
(Nachricht. Akad. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. Kl., Berlin, 1930, p.133)
1. Хорошо известно, что в квантовой механике можно использовать свойства симметрии системы для определения характера ее движения. Совокупность конечного числа состояний может быть охарактеризована инвариантным относительно вращений образом при помощи утверждения *) «энергия равна Е». В классической механике такая классификация, вообще говоря, невозможна из-за определяющей роли начальных условий.
Упругие колебания системы точек относительно своих положений равновесия представляют собой исключение из последнего утверждения. В этом случае уравнения движения линейны, т. е. суперпозиция двух возможных колебаний также есть возможное колебание и, таким образом, результаты исследования здесь полностью аналогичны квантовомеханическим. Естественно ожидать, следовательно, что их можно получить с помощью той же самой техники.
Исследуемые нами упругие колебания симметричных структур были ранее рассмотрены Брестером [1]**), который полностью решил задачу, пользуясь только элементарными методами. Мы здесь снова рассмотрим эту задачу, поскольку нам представляется, что вышеупомянутые теоретико-групповые методы лучше всего подходят для нее и помогают глубже понять содержание теории Брестера.
Рассмотрим колебания системы п точек, связанных друг с другом упругими силами***). Поместим начало координат в центр тяжести системы и положим, что компоненты векторов
*) Это утверждение применимо, когда значения E составляют дискретный спектр с конечным числом собственных функций.
**) Деннисон [2] также рассмотрел частный случай колебаний молекулы -CH4, который мы будем использовать в качестве примера.
***) Можно, например, представить себе молекулу CH4, в которой атомы считаются точечными.
j J р. Нокс, А. Голд
162
E ВИГНЕР
г\> *2, Tn характеризуют положения равновесия атомов*), а компоненты векторов ии и2у ..., Un дают смещения атомов из положений равновесия. Таким образом, положения частиц определяются векторами r{ + ии r2 + u2l ..., rn -f ип. Величины uk зависят от времени, но они всегда малы по сравнению с расстояниями между положениями равновесия; для нормальных колебаний зависимость uh от времени описывается выражением sinco/. Совокупность п векторов Hn и2, Un можно рассматривать также как Зя-мерный вектор смещения и.
Пусть вся система обладает некоторой симметрией, т. е. пусть существует группа G трехмерных вращений**) (/?a?), которая преобразует равновесную конфигурацию в-саму себя. Тогда для каждого преобразования R из группы G и для всех k и а мы имеем
з
2 RaffkR = гia или просто Rrk = rh (1)
?=l 1 1
Здесь k-я и /-я частицы должны быть одинаковыми***) (например, два атома водорода). Обозначим индекс / частицы, на место которой переходит &-я частица при преобразовании R, через R(k). Тогда соотношение (1) принимает вид
3
21 ^a?r??= rR(k),a> Rrk=fR(k)- 0а)
Тот или иной тип нормальных колебаний системы можно описать, задавая п векторов иь иъ . •., unt дающих максимальные смещения атомов из положений равновесия. Пусть векторы Hi9 и2у ..., ип представляют собой амплитуды нормальных колебаний. Подвергнем описанную таким образом конфигурацию преобразованию R из группы G. При этом получится конфигурация, которой отвечает нормальное колебание той же частоты, поскольку относительное расположение частиц безусловно не изменилось. Координата k-й частицы теперь равна Rrk + Ruk = = Гщк) + Ruh и по-прежнему с каждым положением равновесия связана некоторая частица.
*) Это условие определяет векторы Tj не однозначно, а с точностью до поворота системы как целого. В дальнейшем мы будем считать, что векторы г} фиксированы некоторым произвольным образом (например, г\ лежит на оси г, r2 — в плоскости zy и т. д.).
**) Индексы а, ? всегда относятся к координатным осям х\ = ху *2 = у, xz — zw будут в дальнейшем использоваться в качестве нижних индексов для обозначения компонент вектора.
***) В кристаллографии точки, преобразующиеся друг в друга при преобразованиях симметрии, называются эквивалентными. Эквивалентные точки всегда подобны, однако обратное утверждение не всегда верно.
ОБ УПРУГИХ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ |63
*) Оператор V(R), который Внгнер в оригинале обозначал через /?, определяется первым из равенств (2). Он полностью аналогичен оператору P(R), используемому в квантовой механике (см. стр. 34 настоящей книги). — Прим. H ок с а и Г олда.
**) Здесь имеются в виду только вещественные представления; частота, которой принадлежит комплексное представление, всегда совпадает с частотой, которой принадлежит комплексно сопряженное представление. В случае групп, для которых вещественные неприводимые представления не являются в то же время неприводимыми в поле комплексных чисел, имеет место так называемое случайное вырождение. Усложнение такого рода, однако, не существенно.