Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
ДЛЯ /? (^)=7^=^,
для R (k) = к. (8а)
п У Cl
Если nR есть число равновесных точек, не изменяющих своего положения при повороте R1 то
X (R) = S 2 A Aa = Sp /? = ± ля (1 + 2 cos ер*), (9)
a
где фя — угол поворота; здесь было использовано соотношение SpR= ±(1 +2со5фд). Верхний знак соответствует случаю, когда R есть чистый поворот, а нижний — случаю, когда R — несобственный поворот. Из выражения (9) можно найти характер X(R). Разумеется, достаточно провести вычисление для одного элемента каждого класса.
Пусть величина %(R) записана в виде линейной комбинации характеров %{l)(R), %{2)(R), ... различных неприводимых представлений группы G,
X(R) = (R) + a#2) (R)+ ... (10)
Тогда коэффициенты (они должны быть неотрицательными целыми числами) дают число собственных частот, принадлежащих представлениям D(1)(/?), D{2)(R), ... Коэффициенты а находятся
из соотношения
«;=j2x(w>(*), OD
где суммирование проводится по h элементам группы G.
Следует отметить, что до сих пор мы повсюду включали в рассмотрение и колебания нулевой частоты, т. е. трансляции и повороты системы как целого. Для того чтобы исключить их, нужно вычесть их характеры из характера %(R), определяемого выражением (9). В случае трансляций величина, подлежащая вычитанию, есть характер представления Div)(R), т. е. ±(1+2со8фд); в случае поворотов надо вычесть характер представления D{v)(R), т. е. +(1 + 2со8фН). Всего, следовательно, из % (R) нужно вычесть 2(1 +2со8фД), когда R есть собственный поворот, и оставить %(R) неизменным, когда R — несобственный поворот. Числа отличных от нуля собственных частот различных типов можно найти из соотношения
aa({)(R) + a2%V(R) +
. (nR — 2) (1+2 cos фя), R-собственный поворот,
?(1+2созфя), /? — несобственный поворот.
1 ~nR
ОБ УПРУГИХ НОРМАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
167
При этом явная формула для ар имеет вид я.=І2х(р)(Я)Н(/?) =
R
в І Е'<л* - 2) (1 + 2 cosФа) (*) ~ X (1 + 2cosФя)(/?),
(Иа)
где первая сумма берется по собственным, а вторая — по несобственным поворотам из группы G. В написанных выше формулах nR есть число частиц, которые не смещаются при преобразовании /?, a %(P)(R)—характер неприводимого представления рассматриваемого типа. Число линейно независимых нормальных колебаний, принадлежащих представлению какого-либо заданного типа, равно размерности этого представления.
Характеры неприводимых представлений большей части групп симметрии были найдены Бете [3].
Группа симметрии метана есть тетраэдрическая группа 7\?, состоящая из тождественного преобразования ?, четырех поворотных осей третьего порядка C3 (восемь элементов), трех поворотных осей второго порядка C2 (три элемента), шести отражений в плоскости Od (шесть элементов) и трех зеркально-поворотных осей четвертого порядка S4 (шесть элементов). Характеры пяти неприводимых представлений приведены в табл. I. (Рассматриваемая группа гомоморфна симметричной группе четвертого порядка.)
Таблица I
C3(S) C2 (3)
оа (6)
S4 (6)
Xd)
1
1 1
1
1
X (2)
2
— 1 2
0
0
Х(3)
3
0 -I
1
—I
X (4)
3
0 -1
— 1
1
X (5)
1
1 1
— 1
—1
Для определения характера представления A(R) укажем также (в табл. II) число несмещенных атомов nRy угол поворота Фя, величину ±(1 +2со5фД), характер x(R) и, наконец, характер E(R).
Пользуясь непосредственно соотношениями (Юа) и (Па), мы получаем
Z(R) = х]) {R)+ х{2) (R)+ W(R)-
16S Е. ВИГНЕР
Таблица II
?(1)
C3 (8)
C2 (3)
ad (6)
S4 (6)
nR
5
2
I
3
1
0
2я/3
Jt
л
я/2
±(1 -f2 cos фд)
3
0
-1
1
-1
X(R)
15
0
-1
3
-1
2<«)
9
0
1
3
-1
Нормальные колебания молекулы метана имеют, следовательно, четыре различные (отличные от нуля) частоты. Одна из них — невырожденная, другая — дважды вырожденная, две — трижды вырожденные.
Последнюю часть расчета можно значительно упростить, если с самого начала построить таблицы типа табл. II для каждой группы эквивалентных точек, а не для всей системы (т. е., например, отдельно для атома С и для четырех атомов H). Надо лишь следить за тем, чтобы колебания, отвечающие чистой трансляции и повороту, вычесть не более одного раза. Для этой цели в каждой из таблиц расчет надо доводить только до %(R), а величины E(R) вычислять только для одной из них. Теперь надо потребовать, чтобы таблица, для которой вычислены величины S(Z?), не содержала точек, которые все коллинеарны (ранее это требование накладывалось только на всю систему). Упрощение, таким путем достигаемое, связано с тем, что отдельные величины x(R) легче разложить на сумму неприводимых характеров, нежели суммы S(Z?), фигурирующие в табл. II. Полные числа ар получаются затем суммированием чисел ар, найденных для каждой из таблиц.
3. Можно найти «активные» колебания, возбуждение которых связано с дипольным излучением. Полный вектор поляризации P для х-го нормального колебания дается выражением
